Jalur geometris dan semak belukar

Saat menulis artikel ini, saya ingat sebuah lagu yang sangat lama oleh Jan Pietrzak, yang dia nyanyikan sebelum aktivitas satirnya di kabaret Pod Egidą, yang diakui di Republik Rakyat Polandia sebagai katup pengaman; orang bisa dengan jujur ​​menertawakan paradoks sistem. Dalam lagu ini, penulis merekomendasikan partisipasi politik sosialis, mengejek mereka yang ingin apolitis dan mematikan radio di surat kabar. “Lebih baik kembali ke sekolah membaca,” Petshak yang saat itu berusia XNUMX tahun bernyanyi dengan ironis.

Aku akan kembali ke sekolah membaca. Saya membaca ulang (bukan untuk pertama kalinya) buku Shchepan Yelensky (1881-1949) "Lylavati". Untuk beberapa pembaca, kata itu sendiri mengatakan sesuatu. Ini adalah nama putri matematikawan Hindu terkenal yang dikenal sebagai Bhaskara (1114-1185), bernama Akaria, atau orang bijak yang memberi judul bukunya tentang aljabar dengan nama itu. Lilavati kemudian menjadi ahli matematika dan filsuf terkenal. Menurut sumber lain, dialah yang menulis buku itu sendiri.

Szczepan Yelensky memberikan judul yang sama untuk bukunya tentang matematika (edisi pertama, 1926). Bahkan mungkin sulit untuk menyebut buku ini sebagai karya matematika - ini lebih merupakan kumpulan teka-teki, dan sebagian besar ditulis ulang dari sumber Prancis (hak cipta dalam pengertian modern tidak ada). Bagaimanapun, selama bertahun-tahun itu adalah satu-satunya buku matematika Polandia yang populer - kemudian buku kedua Jelensky, Permen Pythagoras, ditambahkan ke dalamnya. Jadi, orang-orang muda yang tertarik pada matematika (yang persis seperti saya dulu) tidak punya pilihan ...

di sisi lain, "Lilavati" harus diketahui hampir di luar kepala... Ah, ada kalanya... Keuntungan terbesar mereka adalah saya... masih remaja saat itu. Hari ini, dari sudut pandang ahli matematika yang terpelajar, saya memandang Lilavati dengan cara yang sama sekali berbeda - mungkin seperti pendaki di tikungan jalan menuju Shpiglasova Pshelench. Tidak satu pun atau yang lain kehilangan pesonanya ... Dalam gayanya yang khas, Shchepan Yelensky, yang menganut apa yang disebut gagasan nasional dalam kehidupan pribadinya, menulis dalam kata pengantar:

Tanpa menyentuh deskripsi karakteristik nasional, saya akan mengatakan bahwa bahkan setelah sembilan puluh tahun, kata-kata Yelensky tentang matematika tidak kehilangan relevansinya. Matematika mengajarkan Anda untuk berpikir. Itu adalah fakta. Bisakah kami mengajari Anda untuk berpikir secara berbeda, lebih sederhana dan lebih indah? Mungkin. Hanya saja... kita masih tidak bisa. Saya menjelaskan kepada siswa saya yang tidak ingin mengerjakan matematika bahwa ini juga merupakan ujian kecerdasan mereka. Jika kamu tidak bisa belajar teori matematika yang sangat sederhana, maka... mungkin kemampuan mentalmu lebih buruk dari yang kita berdua inginkan...?

Tanda di pasir

Dan inilah kisah pertama dalam "Lylavati" - sebuah kisah yang dideskripsikan oleh filsuf Prancis Joseph de Maistre (1753-1821).

Seorang pelaut dari kapal yang rusak terlempar oleh ombak ke pantai kosong, yang dia anggap tidak berpenghuni. Tiba-tiba, di pasir pantai, dia melihat jejak sosok geometris digambar di depan seseorang. Saat itulah dia menyadari bahwa pulau itu tidak sepi!

Mengutip de Mestri, Yelensky menulis: angka geometrisitu akan menjadi ekspresi bisu untuk kebetulan yang malang, terdampar, tetapi dia menunjukkan padanya secara sekilas proporsi dan jumlah, dan ini menandakan seorang pria yang tercerahkan. Begitu banyak untuk sejarah.

Perhatikan bahwa seorang pelaut akan menyebabkan reaksi yang sama, misalnya, dengan menggambar huruf K, ... dan jejak lain dari kehadiran seseorang. Di sini geometri diidealkan.

Namun, astronom Camille Flammarion (1847-1925) mengusulkan agar peradaban saling menyapa dari kejauhan menggunakan geometri. Dia melihat dalam hal ini satu-satunya upaya komunikasi yang benar dan mungkin. Mari kita tunjukkan pada orang Mars segitiga Pythagoras... mereka akan menjawab kita dengan Thales, kita akan menjawab mereka dengan pola Vieta, lingkaran mereka akan masuk ke dalam segitiga, jadi persahabatan dimulai...

Penulis seperti Jules Verne dan Stanislav Lem kembali ke ide ini. Dan pada tahun 1972, ubin dengan pola geometris (dan tidak hanya) ditempatkan di atas probe Pioneer, yang masih melintasi hamparan ruang, sekarang hampir 140 unit astronomi dari kita (1 I adalah jarak rata-rata Bumi dari Bumi) . Matahari, yaitu sekitar 149 juta km). Ubin itu dirancang, sebagian, oleh astronom Frank Drake, pencipta aturan kontroversial tentang jumlah peradaban luar bumi.

Geometri luar biasa. Kita semua tahu sudut pandang umum tentang asal mula ilmu ini. Kami (kami manusia) baru saja mulai mengukur tanah (dan kemudian tanah) untuk tujuan yang paling bermanfaat. Menentukan jarak, menggambar garis lurus, menandai sudut siku-siku, dan menghitung volume secara bertahap menjadi suatu keharusan. Oleh karena itu semuanya geometri ("Pengukuran bumi"), karenanya semua matematika ...

Namun, untuk beberapa waktu gambaran yang jelas tentang sejarah ilmu pengetahuan ini mengaburkan kita. Karena jika matematika diperlukan semata-mata untuk tujuan operasional, kita tidak akan terlibat dalam membuktikan teorema sederhana. “Anda lihat bahwa ini seharusnya benar,” seseorang akan berkata setelah memeriksa bahwa dalam beberapa segitiga siku-siku jumlah kuadrat sisi miring sama dengan kuadrat sisi miring. Mengapa formalisme seperti itu?

Plum pie harus enak, program komputer harus bekerja, mesin harus bekerja. Jika saya menghitung kapasitas laras tiga puluh kali dan semuanya beres, lalu mengapa lagi?

Sementara itu, orang Yunani kuno berpikir bahwa beberapa bukti formal perlu ditemukan.

Jadi, matematika dimulai dengan Thales (625-547 SM). Diasumsikan bahwa Miletus-lah yang mulai bertanya-tanya mengapa. Tidaklah cukup bagi orang pintar bahwa mereka telah melihat sesuatu, bahwa mereka yakin akan sesuatu. Mereka melihat perlunya pembuktian, urutan argumen yang logis dari asumsi ke tesis.

Mereka juga menginginkan lebih. Mungkin Thales yang pertama kali mencoba menjelaskan fenomena fisik secara naturalistik, tanpa campur tangan Tuhan. Filsafat Eropa dimulai dengan filsafat alam - dengan apa yang sudah ada di balik fisika (oleh karena itu namanya: metafisika). Tapi dasar ontologi Eropa dan filsafat alam diletakkan oleh Pythagoras (Pythagoras, c. 580-c. 500 SM).

Dia mendirikan sekolahnya sendiri di Crotone di selatan Semenanjung Apennine - hari ini kami menyebutnya sekte. Sains (dalam arti kata saat ini), mistisisme, agama, dan fantasi semuanya saling terkait erat. Thomas Mann dengan sangat indah menyajikan pelajaran matematika di gimnasium Jerman dalam novel Doctor Faustus. Diterjemahkan oleh Maria Kuretskaya dan Witold Virpsha, fragmen ini berbunyi:

Dalam buku menarik Charles van Doren, The History of Knowledge from the Dawn of History to the Present Day, saya menemukan sudut pandang yang sangat menarik. Dalam salah satu bab, penulis menjelaskan pentingnya aliran Pythagoras. Judul bab itu sangat mengejutkan saya. Bunyinya: "Penemuan Matematika: The Pythagoras".

Kami sering mendiskusikan apakah teori matematika sedang ditemukan (misalnya tanah yang tidak dikenal) atau diciptakan (misalnya mesin yang tidak ada sebelumnya). Beberapa matematikawan kreatif melihat diri mereka sebagai peneliti, yang lain sebagai penemu atau desainer, lebih jarang melawan.

Namun penulis buku ini menulis tentang penemuan matematika secara umum.

Dari berlebihan menjadi delusi

Setelah bagian pengantar yang panjang ini, saya akan melanjutkan ke bagian paling awal. geometriuntuk menggambarkan bagaimana ketergantungan yang berlebihan pada geometri dapat menyesatkan seorang ilmuwan. Johannes Kepler dikenal dalam fisika dan astronomi sebagai penemu tiga hukum gerak benda langit. Pertama, setiap planet di tata surya bergerak mengelilingi matahari dalam orbit elips, di salah satu fokusnya adalah matahari. Kedua, secara berkala sinar utama planet, yang ditarik dari Matahari, menarik bidang yang sama. Ketiga, rasio kuadrat periode revolusi planet mengelilingi Matahari terhadap pangkat tiga sumbu semi-mayor orbitnya (yaitu, jarak rata-rata dari Matahari) adalah konstan untuk semua planet di tata surya.

Mungkin ini adalah hukum ketiga - diperlukan banyak data dan perhitungan untuk menetapkannya, yang mendorong Kepler untuk terus mencari pola pergerakan dan posisi planet. Sejarah "penemuan" barunya sangat instruktif. Sejak zaman kuno, kami tidak hanya mengagumi polihedra biasa, tetapi juga argumen yang menunjukkan bahwa hanya ada lima di luar angkasa. Sebuah polihedron tiga dimensi disebut beraturan jika wajahnya adalah poligon beraturan yang identik dan setiap titik memiliki jumlah sisi yang sama. Sebagai ilustrasi, setiap sudut polihedron biasa harus "terlihat sama". Polihedron yang paling terkenal adalah kubus. Setiap orang telah melihat pergelangan kaki biasa.

Tetrahedron biasa kurang dikenal, dan di sekolah disebut piramida segitiga biasa. Itu terlihat seperti piramida. Tiga polihedra biasa yang tersisa kurang dikenal. Oktahedron terbentuk ketika kita menghubungkan pusat-pusat tepi kubus. Dodecahedron dan icosahedron sudah terlihat seperti bola. Terbuat dari kulit yang lembut, mereka akan nyaman untuk digali. Argumen bahwa tidak ada polihedra biasa selain lima padatan Platonis sangat baik. Pertama, kita menyadari bahwa jika benda itu beraturan, maka bilangan yang sama (misalkan q) dari poligon beraturan yang identik harus konvergen di setiap titik, misalkan ini adalah sudut-p. Sekarang kita perlu mengingat apa itu sudut dalam poligon beraturan. Jika seseorang tidak ingat dari sekolah, kami mengingatkan Anda bagaimana menemukan pola yang tepat. Kami melakukan perjalanan di tikungan. Pada setiap titik sudut kita berbelok melalui sudut yang sama a. Ketika kita mengitari poligon dan kembali ke titik awal, kita telah membuat p belokan seperti itu, dan secara total kita telah berputar 360 derajat.

Tetapi adalah komplemen 180 derajat dari sudut yang ingin kita hitung, dan karena itu

Kami telah menemukan rumus untuk sudut (seorang ahli matematika akan mengatakan: ukuran sudut) dari poligon beraturan. Mari kita periksa: pada segitiga p = 3, tidak ada a

Seperti ini. Ketika p = 4 (persegi), maka

derajat juga baik-baik saja.

Apa yang kita dapatkan untuk segi lima? Jadi apa yang terjadi jika ada q poligon, masing-masing p memiliki sudut yang sama

 derajat turun di satu titik? Jika berada di bidang datar, maka akan terbentuk sudut

derajat dan tidak boleh lebih dari 360 derajat - karena poligon akan tumpang tindih.

Namun, karena poligon ini bertemu di ruang angkasa, sudutnya harus lebih kecil dari sudut penuh.

Dan inilah ketidaksetaraan dari mana semuanya mengikuti:

Bagi dengan 180, kalikan kedua bagian dengan p, urutkan (p-2) (q-2) < 4. Apa yang berikut? Perlu diketahui bahwa p dan q pasti bilangan asli dan bahwa p > 2 (mengapa? Dan apa p?) dan juga q > 2. Tidak banyak cara untuk membuat hasil kali dua bilangan asli kurang dari 4. Kita akan mencantumkan semuanya dalam tabel 1.

Saya tidak memposting gambar, semua orang dapat melihat angka-angka ini di Internet… Di Internet… Saya tidak akan menolak penyimpangan lirik – mungkin itu akan menarik bagi pembaca muda. Pada tahun 1970 saya berbicara di sebuah seminar. Topiknya sulit. Saya punya sedikit waktu untuk bersiap, saya duduk di malam hari. Artikel utama hanya bisa dibaca di tempatnya. Tempatnya nyaman, dengan suasana kerja, nah, tutup jam tujuh. Kemudian pengantin wanita (sekarang istri saya) sendiri menawarkan untuk menulis ulang seluruh artikel untuk saya: sekitar selusin halaman cetakan. Saya menyalinnya (tidak, bukan dengan pena bulu ayam, kami bahkan punya pena), kuliahnya sukses. Hari ini saya mencoba mencari publikasi ini, yang sudah tua. Saya hanya ingat nama penulisnya... Pencarian di Internet berlangsung lama... lima belas menit penuh. Saya memikirkannya dengan seringai dan sedikit penyesalan yang tidak bisa dibenarkan.

Kami kembali ke Kepler dan geometri. Rupanya, Plato meramalkan keberadaan bentuk reguler kelima karena ia tidak memiliki sesuatu yang menyatukan, meliputi seluruh dunia. Mungkin itu sebabnya dia menginstruksikan seorang siswa (Theajtet) untuk mencarinya. Seperti itu, demikianlah, atas dasar yang dodecahedron ditemukan. Kami menyebut sikap ini panteisme Plato. Semua ilmuwan, hingga Newton, menyerah pada hal itu pada tingkat yang lebih besar atau lebih kecil. Sejak abad kedelapan belas yang sangat rasional, pengaruhnya telah berkurang secara drastis, meskipun kita tidak perlu malu dengan kenyataan bahwa kita semua menyerah padanya dalam satu atau lain cara.

Dalam konsep Kepler membangun tata surya, semuanya benar, data eksperimen bertepatan dengan teori, teori itu logis koheren, sangat indah ... tetapi sepenuhnya salah. Pada masanya, hanya enam planet yang dikenal: Merkurius, Venus, Bumi, Mars, Jupiter, dan Saturnus. Mengapa hanya ada enam planet? tanya Kepler. Dan keteraturan apa yang menentukan jarak mereka dari Matahari? Dia berasumsi bahwa semuanya terhubung, itu geometri dan kosmogoni berhubungan erat satu sama lain. Dari tulisan-tulisan orang Yunani kuno, dia tahu bahwa hanya ada lima polihedra biasa. Dia melihat ada lima rongga di antara enam orbit. Jadi mungkin masing-masing ruang kosong ini sesuai dengan beberapa polihedron biasa?

Setelah beberapa tahun pengamatan dan pekerjaan teoretis, ia menciptakan teori berikut, yang dengannya ia menghitung dengan cukup akurat dimensi orbit, yang ia presentasikan dalam buku "Mysterium Cosmographicum", yang diterbitkan pada 1596: Bayangkan sebuah bola raksasa, yang diameternya merupakan diameter orbit Merkurius dalam gerak tahunannya mengelilingi matahari. Kemudian bayangkan bahwa di bola ini ada segi delapan biasa, di atasnya ada bola, di atasnya ada ikosahedron, di atasnya lagi ada bola, di atasnya ada dodecahedron, di atasnya ada bola lain, di atasnya ada tetrahedron, lalu lagi ada bola, kubus dan, akhirnya, pada kubus ini bola dijelaskan.

Kepler menyimpulkan bahwa diameter bola berturut-turut ini adalah diameter orbit planet lain: Merkurius, Venus, Bumi, Mars, Jupiter, dan Saturnus. Teori itu tampaknya sangat akurat. Sayangnya, ini bertepatan dengan data eksperimen. Dan bukti apa yang lebih baik tentang kebenaran teori matematika selain korespondensinya dengan data eksperimen atau data observasi, terutama "diambil dari surga"? Saya meringkas perhitungan ini pada Tabel 2. Lalu apa yang dilakukan Kepler? Saya mencoba dan mencoba sampai berhasil, yaitu konfigurasi (urutan bola) dan perhitungan yang dihasilkan sesuai dengan data pengamatan. Berikut adalah angka dan perhitungan Kepler modern:

Seseorang dapat menyerah pada pesona teori dan percaya bahwa pengukuran di langit tidak akurat, dan bukan perhitungan yang dibuat dalam keheningan bengkel. Sayangnya, hari ini kita tahu bahwa setidaknya ada sembilan planet dan semua kebetulan hasil hanyalah kebetulan. Sayang sekali. Itu sangat indah...