Pendidikan Coronavirus dan Matematika – Koleksi yang Ditugaskan Sebagian

Virus yang telah menginfeksi kita mendorong reformasi pendidikan yang cepat. khususnya pada jenjang pendidikan tinggi. Esai yang lebih panjang dapat ditulis mengenai topik ini; pasti akan ada aliran disertasi doktoral tentang metode pembelajaran jarak jauh. Dari sudut pandang tertentu, ini adalah kembali ke asal usul dan kebiasaan belajar mandiri yang terlupakan. Hal ini misalnya terjadi di sekolah menengah Kremenets (di Kremenets, sekarang di Ukraina, yang berdiri pada tahun 1805-31, tumbuh subur hingga tahun 1914 dan mengalami masa kejayaannya pada tahun 1922-1939). Para siswa belajar di sana sendiri - hanya setelah mereka belajar barulah guru datang dengan koreksi, klarifikasi akhir, bantuan di tempat-tempat sulit, dll. d.Ketika saya menjadi mahasiswa, mereka juga mengatakan bahwa kita harus memperoleh ilmu sendiri, bahwa kelas di universitas hanya dapat dipesan dan dikirim. Tapi saat itu, itu hanya teori...

Pada musim semi tahun 2020, saya bukan satu-satunya yang menemukan bahwa pembelajaran (termasuk ceramah, latihan, dll.) dapat dilakukan secara efektif dari jarak jauh (Google Meet, Microsoft Teams, dll.), dengan mengorbankan banyak pekerjaan. di pihak guru dan di sisi lain hanya keinginan “mendapatkan pendidikan”; tetapi juga dengan sedikit kenyamanan: Saya duduk di rumah, di kursi saya, dan pada perkuliahan tradisional, mahasiswa juga sering melakukan hal lain. Efek dari pelatihan semacam itu bahkan bisa lebih baik dibandingkan dengan sistem pembelajaran di kelas tradisional, yang sudah ada sejak Abad Pertengahan. Apa yang tersisa ketika virus ini masuk neraka? Menurutku... cukup banyak. Tapi kita lihat saja nanti.

Hari ini saya akan berbicara tentang set yang dipesan sebagian. Itu mudah. Karena relasi biner pada himpunan tak kosong X disebut relasi orde parsial jika ada

(Tadeusz Kotarbinski, 1886-1981, filsuf,

Presiden Akademi Ilmu Pengetahuan Polandia pada tahun 1957–1962).

1. Refleksif, yaitu untuk setiap ∈ terdapat “,
2. Pejalan kaki, mis. jika ", dan", maka ",
3. Semi-asimetris, mis. (“∧“)→ =

Baris adalah himpunan dengan sifat berikut: untuk dua elemen apa pun, itu adalah himpunan “atau y”. Antirantai adalah...

Berhenti berhenti! Adakah yang bisa dipahami dari sini? Tentu saja. Namun apakah ada di antara Pembaca (yang belum mengetahuinya) yang sudah memahami apa yang ada di sini?

Jangan berpikir! Dan inilah aturan pengajaran matematika. Juga di sekolah. Pertama, definisi yang layak dan tegas, dan kemudian, mereka yang tidak tertidur karena bosan pasti akan memahami sesuatu. Metode ini diterapkan oleh para guru matematika yang “hebat”. Dia harus rapi dan tegas. Memang benar bahwa pada akhirnya harus seperti ini. Matematika harus menjadi ilmu pasti (Lihat juga: ).

Harus saya akui bahwa di universitas tempat saya bekerja setelah pensiun dari Universitas Warsawa, saya juga mengajar selama bertahun-tahun. Hanya di dalamnya terdapat ember berisi air dingin (biarkan tetap seperti itu: dibutuhkan ember!). Tiba-tiba, abstraksi tinggi menjadi ringan dan menyenangkan. Tetapkan intinya: mudah bukan berarti mudah. Petinju kelas ringan juga mengalami kesulitan.

Aku akan tersenyum mengingat kenanganku. Saya diajari dasar-dasar matematika oleh dekan fakultas saat itu, seorang matematikawan kelas satu yang baru saja tiba dari tinggal lama di Amerika, yang pada saat itu merupakan sesuatu yang luar biasa. Saya pikir dia sedikit sombong ketika dia lupa sedikit bahasa Polandia. Dia terlalu sering menggunakan kata Polandia kuno “itu”, “karena itu”, “azale” dan muncul dengan istilah ini: “hubungan semi-asimetris”. Saya suka menggunakannya, itu sangat akurat. Saya suka. Tapi saya tidak menuntut ini dari siswa. Ini biasanya disebut "antisimetri rendah". Sepuluh yang cantik.

Dahulu kala, karena pada tahun tujuh puluhan (abad yang lalu) terjadi reformasi pengajaran matematika yang besar dan menggembirakan. Hal ini bertepatan dengan dimulainya periode singkat pemerintahan Eduard Gierek - sebuah keterbukaan pasti negara kita kepada dunia. “Anak-anak juga bisa diajari matematika yang lebih tinggi,” seru Guru Agung. Ringkasan kuliah universitas “Dasar-Dasar Matematika” disusun untuk anak-anak. Ini adalah tren tidak hanya di Polandia, tapi di seluruh Eropa. Menyelesaikan persamaan saja tidak cukup; setiap detail harus dijelaskan. Agar tidak berdasar, masing-masing Pembaca dapat menyelesaikan sistem persamaan:

tetapi siswa harus membenarkan setiap langkah, merujuk pada pernyataan yang relevan, dll. Ini adalah kelebihan klasik antara bentuk dibandingkan substansi. Mudah bagi saya untuk mengkritik sekarang. Saya juga pernah menjadi pendukung pendekatan ini. Menyenangkan sekali… bagi anak muda yang hobi matematika. Memang benar (dan, demi perhatian, saya).

Tapi cukup dengan penyimpangan lirisnya, mari kita langsung ke intinya: sebuah perkuliahan yang “secara teoritis” ditujukan untuk mahasiswa politeknik tahun kedua dan akan menjadi kering seperti serpihan kelapa jika bukan karena itu. aku sedikit melebih-lebihkan...

Selamat pagi untukmu. Topik hari ini adalah pembersihan sebagian. Tidak, ini bukan tanda pembersihan yang ceroboh. Perbandingan yang lebih baik adalah dengan mempertimbangkan mana yang lebih baik: sup tomat atau kue krim. Jawabannya jelas: tergantung apa. Untuk hidangan penutup - kue, dan untuk hidangan bergizi: sup.

Dalam matematika kita berurusan dengan angka. Mereka diurutkan: lebih besar dan lebih kecil, tetapi dari dua bilangan berbeda, yang satu selalu lebih kecil, yang berarti yang lain lebih besar. Susunannya berurutan, seperti huruf-huruf dalam alfabet. Di log kelas, urutannya dapat berupa: Adamczyk, Baginskaya, Chojnicki, Derkovsky, Elget, Filipov, Grzecnik, Kholnicki (mereka adalah teman dan teman sekelas dari kelas saya!). Kami juga yakin bahwa Matusiak “Matusheliansky” Matuszewski “Matysiak. Simbol “ketimpangan ganda” berarti “mendahului”.

Di klub hiking saya, kami mencoba membuat daftar berdasarkan abjad, tetapi berdasarkan nama, misalnya Alina Wronska “Warwara Kaczarowska”, Cesar Boushitz, dll. Dalam laporan resmi, urutannya akan dibalik. Ahli matematika menyebut urutan abjad sebagai leksikografis (leksikon kurang lebih seperti kamus). Di sisi lain, urutan ini, di mana dalam nama yang terdiri dari dua bagian (Michal Szurek, Alina Wronska, Stanislav Smarzynski) pertama-tama kita lihat bagian kedua, merupakan tatanan anti-leksikografis bagi para ahli matematika. Judulnya panjang, tapi isinya sangat sederhana.

1. Urutan linier: stasiun dan pemberhentian pada rute kereta api Habovka - Zakopane dari Podhale, dibangun pada tahun 1899 (saya serahkan penguraian singkatannya kepada pembaca).

Semua pesanan seperti itu disebut pesanan baris. Kami memesan secara berurutan: pertama, kedua, ketiga. Semuanya beres, dari poin pertama hingga terakhir. Hal ini tidak selalu masuk akal. Lagi pula, kami menyusun buku-buku di perpustakaan tidak seperti ini, tetapi dalam beberapa bagian. Hanya di dalam departemen kami menyusunnya secara linier (biasanya berdasarkan abjad).

2. Urutan linier: saat menghidupkan mesin mobil, kami melakukan tindakan dalam urutan yang disepakati.

Dengan proyek yang lebih besar, terutama kerja tim, kita tidak lagi memiliki tatanan yang linier. Mari kita lihat ara. 3. Kami ingin membangun hotel kecil. Kami sudah punya uang (sel 0). Kita menyiapkan izin, mengumpulkan bahan, memulai pembangunan, sekaligus melakukan kampanye periklanan, mencari karyawan, dan lain sebagainya. Saat kita mencapai “10”, tamu pertama bisa check-in (contoh dari cerita Pak Dombrowski dan hotel kecil mereka di pinggiran kota Krakow). Kita punya urutan nonlinier – beberapa hal dapat terjadi secara paralel.

Di bidang ekonomi, Anda belajar tentang konsep jalur kritis. Ini adalah serangkaian tindakan yang harus dilakukan secara berurutan (dan ini disebut rantai dalam matematika, akan dibahas lebih lanjut nanti), dan memerlukan waktu paling lama. Mengurangi waktu konstruksi adalah penataan ulang jalur kritis. Namun lebih lanjut tentang ini di kuliah lain (izinkan saya mengingatkan Anda bahwa saya sedang memberikan “kuliah universitas”). Kami fokus pada matematika.

Diagram seperti Gambar 3 disebut diagram Hasse (Helmut Hasse, ahli matematika Jerman, 1898–1979). Setiap upaya kompleks harus direncanakan dengan cara ini. Kita melihat urutan tindakan: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. Matematikawan menyebutnya string. Seluruh gagasan terdiri dari empat rantai. Sebaliknya, kelompok aktivitas 1-2-3-4, 5-6-7 dan 8-9 merupakan antirantai. Begitulah sebutan mereka. Faktanya adalah bahwa dalam kelompok tertentu, tidak ada tindakan yang bergantung pada tindakan sebelumnya.

4. Ini juga merupakan diagram Hasse.

ойдем angka 4. Apa yang mengesankan? Tapi ini bisa jadi peta metro di suatu kota! Rel kereta bawah tanah selalu dikelompokkan menjadi beberapa jalur - tidak berpindah dari satu jalur ke jalur lainnya. Garis adalah garis individual. Di kota, nasi. 4 ya panggang garis (ingat itu panggang dieja "boldem" - dalam bahasa Polandia disebut semi-tebal).

Pada diagram ini (Gbr. 4) terdapat ABF kuning pendek, ACFKPS enam stasiun, ADGL hijau, DGMRT biru, dan merah terpanjang. Ahli matematika akan berkata: pada diagram Hasse ini ada panggang rantai. Itu ada di garis merah tujuh stasiun: AEINRUV. Bagaimana dengan antirantai? Mereka disana tujuh. Pembaca telah memperhatikan bahwa saya menggarisbawahi kata itu dua kali tujuh.

Antisipasi Ini adalah sekumpulan stasiun sehingga tidak mungkin berpindah dari salah satu stasiun ke stasiun lainnya tanpa transfer. Saat kita “mencari tahu” sedikit, kita akan melihat antichain berikut: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, ​​​​SR. Silakan periksa, misalnya, dari stasiun BCLTV mana pun tidak mungkin melakukan perjalanan ke BCTLV lain tanpa melakukan perubahan, atau lebih tepatnya: tanpa harus kembali ke stasiun yang ditunjukkan di bawah ini. Ada berapa antirantai? Tujuh. Yang paling besar ukurannya berapa? Memanggang (sekali lagi dicetak tebal).

Bayangkan, para siswa, bahwa kebetulan angka-angka ini bukanlah suatu kebetulan. Ini. Hal ini ditemukan dan dibuktikan (yaitu selalu benar) pada tahun 1950 oleh Robert Palmer Dilworth (1914–1993, ahli matematika Amerika). Jumlah garis yang diperlukan untuk menutupi seluruh rangkaian sama dengan ukuran antirantai terbesar, dan sebaliknya: jumlah antirantai sama dengan panjang antirantai terpanjang. Ini selalu terjadi pada himpunan terurut sebagian, yaitu. salah satu yang dapat divisualisasikan. Diagram Hassego. Ini bukanlah definisi yang sepenuhnya ketat dan benar. Inilah yang oleh para ahli matematika disebut sebagai "definisi kerja". Ini agak berbeda dengan “definisi kerja”. Ini adalah petunjuk tentang cara memahami himpunan terurut sebagian. Ini adalah bagian penting dari pelatihan apa pun: lihat cara kerjanya.

Singkatan bahasa Inggrisnya adalah - kata ini terdengar indah dalam bahasa Slavia, sedikit mirip thistle. Harap dicatat bahwa onak juga bercabang.

Sangat indah, tapi siapa yang membutuhkannya? Anda, para siswa yang terkasih, membutuhkannya untuk lulus ujian dan, mungkin, ini adalah alasan yang cukup baik untuk mempelajarinya. Saya mendengarkan, pertanyaan apa? Saya mendengarkan, Pak, dari bawah jendela. Oh, pertanyaannya adalah, apakah hal ini akan berguna bagi Tuhan dalam hidup Anda? Mungkin tidak, tapi pastinya bagi seseorang yang lebih pintar dari Anda... Mungkin untuk menganalisis jalur kritis dalam proyek ekonomi yang kompleks?

Saya menulis teks ini pada pertengahan Juni; pemilihan rektor sedang berlangsung di Universitas Warsawa. Saya telah membaca beberapa komentar dari pengguna internet. Ada sejumlah besar kebencian (atau “kebencian”) terhadap “orang-orang terpelajar.” Seseorang secara eksplisit menulis bahwa orang yang berpendidikan universitas mengetahui lebih sedikit dibandingkan mereka yang berpendidikan universitas. Tentu saja saya tidak akan terlibat dalam diskusi. Saya sedih karena opini yang berlaku di Republik Rakyat Polandia bahwa segala sesuatu dapat dilakukan dengan palu dan pahat kembali muncul. Saya akan kembali ke matematika.

teorema Dillworth memiliki beberapa aplikasi menarik. Salah satunya dikenal dengan teorema perkawinan.ara. 6). 

Ada sekelompok perempuan (kemungkinan besar perempuan) dan kelompok laki-laki yang sedikit lebih besar. Setiap gadis berpikir seperti ini: “Saya bisa menikah dengan yang ini, yang ini, yang ini, tapi tidak akan pernah menikah dengan yang ketiga dalam hidup saya.” Begitu seterusnya, setiap orang punya kesukaannya masing-masing. Kami menggambar diagram, yang mengarah ke masing-masing anak panah dari pria yang tidak dia tolak sebagai calon altar. Pertanyaan : Bolehkah pasangan dijodohkan sehingga masing-masing mendapatkan suami yang diterimanya?

Teorema Philip Hall, mengatakan bahwa hal ini dapat dilakukan - dengan syarat tertentu, yang tidak akan saya bahas di sini (mohon pada kuliah berikutnya, mahasiswa). Namun perlu diperhatikan bahwa kepuasan pria tidak disebutkan sama sekali di sini. Seperti yang Anda ketahui, perempuanlah yang memilih kami, dan bukan sebaliknya, seperti yang kami pikirkan (izinkan saya mengingatkan Anda bahwa sayalah penulisnya, bukan penulisnya).

Beberapa matematika yang serius. Bagaimana teorema Hall mengikuti dari Dilworth? Ini sangat sederhana. Mari kita lihat lagi Gambar 6. Rantai di sana sangat pendek: panjangnya 2 (berjalan searah). Sekumpulan pria kecil adalah antirantai (tepatnya karena panah hanya mengarah satu sama lain). Dengan cara ini Anda dapat menutupi seluruh koleksi dengan antirantai sebanyak jumlah pria. Jadi, setiap wanita pasti mempunyai anak panah. Artinya dia mungkin terlihat seperti pria yang dia terima!!!

Tunggu, ada yang bertanya, benarkah? Apakah ini keseluruhan aplikasinya? Hormon entah bagaimana bisa akur dan mengapa matematika? Pertama, ini bukan keseluruhan aplikasi, tetapi hanya satu dari rangkaian besar. Mari kita lihat salah satunya. Misalkan (Gbr. 6) yang dimaksud bukan perwakilan dari jenis kelamin yang lebih baik, melainkan pembeli biasa, dan ini adalah merek, misalnya mobil, mesin cuci, produk penurun berat badan, penawaran dari agen perjalanan, dll. Setiap pembeli memiliki merek yang dia terima dan menolak. Adakah yang bisa dilakukan untuk menjual sesuatu kepada semua orang dan bagaimana caranya? Di sinilah tidak hanya leluconnya saja yang berakhir, tetapi juga pengetahuan penulis artikel tentang topik ini. Yang saya tahu adalah analisisnya didasarkan pada matematika yang cukup rumit.

Pengajaran matematika di sekolah adalah pengajaran algoritma. Ini adalah bagian penting dari pelatihan. Namun sedikit demi sedikit kita mulai beralih ke pengajaran matematika, bukan metode matematika. Kuliah hari ini hanya membahas hal ini: kita berbicara tentang konstruksi mental abstrak, kita memikirkan tentang kehidupan sehari-hari. Kita berbicara tentang rantai dan antirantai dalam rangkaian dengan hubungan terbalik, transitif, dan hubungan lain yang kami gunakan dalam model pembeli-penjual. Komputer akan melakukan semua perhitungan untuk kita. Dia belum akan membuat model matematika. Kami masih menang dengan pemikiran kami. Bagaimanapun, saya berharap selama mungkin!