Mengapa kita tidak membagi dengan nol?

Pembaca mungkin bertanya-tanya mengapa saya mencurahkan seluruh artikel untuk masalah dangkal seperti itu? Pasalnya, sejumlah mahasiswa (!) yang begitu santai melakukan operasi atas nama tersebut. Dan tidak hanya siswa. Kadang-kadang saya menangkap dan guru. Apa yang akan dapat dilakukan siswa dari guru seperti itu dalam matematika? Alasan langsung untuk menulis teks ini adalah percakapan dengan seorang guru yang membagi dengan nol bukanlah masalah ...

Dengan nol, ya, kecuali repot tidak ada sama sekali, karena kita tidak terlalu perlu menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. Kami tidak pergi berbelanja untuk nol telur. "Ada satu orang di dalam ruangan" terdengar alami, dan "nol orang" terdengar buatan. Ahli bahasa mengatakan bahwa nol berada di luar sistem bahasa.

Kita juga dapat melakukannya tanpa nol di rekening bank: cukup gunakan - seperti pada termometer - merah dan biru untuk nilai positif dan negatif (perhatikan bahwa untuk suhu wajar menggunakan merah untuk angka positif, dan untuk rekening bank itu sebaliknya, karena debit harus memicu peringatan, jadi warna merah sangat disarankan).

Dengan memasukkan nol sebagai bilangan asli, kita menyentuh masalah diferensiasi Angka kardinal od rumah tangga. Dalam 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

kekuatan angka sama dengan jumlah tempat berdirinya. Kalau tidak, sudah ada di urutan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

Jumlah set tunggal berada di urutan kedua, jumlah set dengan dua elemen berada di urutan ketiga, dan seterusnya. Kami harus menjelaskan mengapa, misalnya, kami tidak menghitung tempat atlet dalam kompetisi dari awal. Kemudian pemenang tempat pertama akan menerima medali perak (emas diberikan kepada pemenang tempat nol), dan seterusnya Prosedur yang agak mirip digunakan dalam sepak bola - Saya tidak tahu apakah Pembaca tahu bahwa "liga satu" berarti " mengikuti yang terbaik." “, dan liga nol dipanggil untuk menjadi “liga utama”.

Terkadang kita mendengar argumen bahwa kita perlu memulai dari awal, karena itu nyaman bagi orang IT. Melanjutkan pertimbangan ini, definisi kilometer harus diubah - harus 1024 m, karena ini adalah jumlah byte dalam satu kilobyte (saya akan mengacu pada lelucon yang diketahui oleh ilmuwan komputer: “Apa perbedaan antara mahasiswa baru dan seorang mahasiswa ilmu komputer dan mahasiswa tahun kelima fakultas ini? bahwa satu kilobyte adalah 1000 kilobyte, yang terakhir - satu kilometer adalah 1024 meter")!

Sudut pandang lain, yang seharusnya sudah ditanggapi dengan serius, adalah ini: kami selalu mengukur dari awal! Cukup dengan melihat skala apa pun pada penggaris, pada skala rumah tangga, bahkan pada jam. Karena kita mengukur dari nol, dan menghitung dapat dipahami sebagai pengukuran dengan satuan tak berdimensi, maka kita harus menghitung dari nol.

Ini masalah sederhana, tapi...

Mari tinggalkan penalaran umum dan kembali ke pembagian dengan nol. Masalahnya sederhana dan akan sederhana jika bukan karena ... lalu kenapa? Mari berpikir dan mencoba. Berapa harganya - satu dibagi nol? Mari kita lihat: 1/0 = x. Kalikan kedua ruas dengan penyebut ruas kiri.

Kami mendapatkan 1 = 0. Sesuatu yang salah! Apa yang terjadi? Ah tebak! Asumsi bahwa ada hasil bagi kesatuan dan nol mengarah ke kontradiksi. Dan jika satu tidak dapat dibagi dengan nol, maka angka lain bisa. Jika, Pembaca, Anda mengangkat bahu dan bertanya-tanya mengapa penulis (yaitu, saya) menulis tentang omong kosong seperti itu, maka ... Saya sangat senang!

Rumus 0/0 = 0 dapat dipertahankan dengan dasar yang keras kepala, tetapi ini bertentangan dengan aturan bahwa hasil membagi angka dengan dirinya sendiri adalah sama dengan satu. Tentu saja, tetapi sangat berbeda adalah simbol seperti 0/0, °/° dan sejenisnya dalam kalkulus. Mereka tidak berarti angka apa pun, tetapi merupakan sebutan simbolis untuk urutan tertentu dari jenis tertentu.

Dalam sebuah buku teknik elektro, saya menemukan perbandingan yang menarik: membagi dengan nol sama berbahayanya dengan listrik tegangan tinggi. Ini normal: Hukum Ohm menyatakan bahwa rasio tegangan terhadap resistansi sama dengan arus: V = U / R. Jika resistansi adalah nol, arus tak terbatas secara teoritis akan mengalir melalui konduktor, membakar semua konduktor yang mungkin.

Saya pernah menulis puisi tentang bahaya membagi dengan nol untuk setiap hari dalam seminggu. Saya ingat bahwa hari yang paling dramatis adalah hari Kamis, tapi sayang sekali untuk semua pekerjaan saya di daerah ini.

Ketika Anda membagi sesuatu dengan nol

Senin sangat pagi

Minggu apa yang baru saja terjadi

Anda sudah gagal total.

Ketika Selasa sore

Anda memasukkan nol ke dalam penyebut

Saya akan memberitahu Anda kemudian, Anda salah

Matematikawan yang buruk!

Ketika melalui nol, melalui penyimpangan,

Ingin berpisah pada hari Rabu

Anda akan mendapat banyak masalah

Anda punya jerami dan air di kepala Anda!

Bartek tertentu bersama kami.

Dia bertentangan dengan aturan.

Pada hari Kamis, itu habis dibagi nol.

Dia tidak lagi di antara kita!

Jika keinginan aneh menguasaimu

Bagi dengan nol pada hari Jumat

Saya akan jujur, saya akan jujur:

Awal yang buruk untuk akhir pekan ini.

Saat nol, di suatu tempat pada hari Sabtu

Pembagi akan menjadi milik Anda (tidak dicetak tebal)

Berlututlah di bawah pagar gereja.

Ini adalah kebangkitanmu.

Apakah Anda ingin nol di bawah tanda hubung,

Buat liburan di hari Minggu

Bawa kapur tulis, papan tulis.

Tulis: tidak habis dibagi nol!

Nol diasosiasikan dengan kekosongan dan kehampaan. Memang, dia datang ke matematika sebagai kuantitas yang, ketika ditambahkan ke apapun, tidak mengubahnya: x + 0 = x. Tapi sekarang nol muncul di beberapa nilai lain, terutama sebagai skala mulai. Jika di luar jendela tidak ada suhu positif atau embun beku, maka ... ini nol, yang tidak berarti tidak ada suhu sama sekali. Monumen kelas nol bukanlah monumen yang telah lama dihancurkan dan tidak ada sama sekali. Sebaliknya, itu seperti Wawel, Menara Eiffel, dan Patung Liberty.

Nah, pentingnya nol dalam sistem posisi hampir tidak dapat ditaksir terlalu tinggi. Tahukah Anda, Pembaca, berapa angka nol yang dimiliki Bill Gates di rekening banknya? Saya tidak tahu, tapi saya ingin setengah. Rupanya, Napoleon Bonaparte memperhatikan bahwa orang seperti nol: mereka memperoleh makna melalui posisi. Dalam As the Years, As the Days Pass karya Andrzej Wajda, artis yang bersemangat Jerzy meledak: "Philister adalah nol, nihil, tidak ada, tidak ada, nihil, nol." Tapi nol bisa jadi baik: "zero deviasi dari norma" berarti semuanya berjalan dengan baik, dan pertahankan!

Mari kembali ke matematika. Nol dapat ditambahkan, dikurangi, dan dikalikan dengan impunitas. “Saya mendapatkan nol kilogram,” kata Many kepada Anya. “Dan ini menarik, karena saya kehilangan berat badan yang sama,” jawab Anya. Jadi mari kita makan enam porsi es krim enam kali, itu tidak akan merugikan kita.

Kita tidak bisa membagi dengan nol, tapi kita bisa membagi dengan nol. Sepiring pangsit nol dapat dengan mudah dibagikan kepada mereka yang sedang menunggu makanan. Berapa yang akan didapat masing-masing?

Nol tidak positif atau negatif. Ini dan nomornya tidak positifи non-negatif. Memenuhi pertidaksamaan x≥0 dan x≤0. Kontradiksi "sesuatu yang positif" bukanlah "sesuatu yang negatif", tetapi "sesuatu yang negatif atau sama dengan nol". Matematikawan, bertentangan dengan aturan bahasa, akan selalu mengatakan bahwa ada sesuatu yang "sama dengan nol" dan bukan "nol". Untuk membenarkan praktik ini, kita memiliki: jika kita membaca rumus x = 0 "x adalah nol", maka x = 1 kita membaca "x sama dengan satu", yang dapat ditelan, tetapi bagaimana dengan "x = 1534267"? Anda juga tidak dapat menetapkan nilai numerik ke karakter 0⁰atau menaikkan nol ke pangkat negatif. Di sisi lain, Anda dapat membasmi nol sesuka hati... dan hasilnya akan selalu nol. 

Fungsi eksponensial y = a^x, basis positif dari a, tidak pernah menjadi nol. Oleh karena itu, tidak ada logaritma nol. Memang, logaritma dari a ke basis b adalah eksponen yang basisnya harus dinaikkan untuk mendapatkan logaritma dari a. Untuk a = 0, tidak ada indikator seperti itu, dan nol tidak bisa menjadi basis logaritma. Namun, nol dalam "penyebut" simbol Newton adalah sesuatu yang lain. Kami berasumsi bahwa konvensi ini tidak mengarah pada kontradiksi.

bukti palsu

Pembagian dengan nol adalah subjek umum untuk pembuktian palsu, dan itu terjadi bahkan pada ahli matematika berpengalaman. Biarkan saya memberi Anda dua contoh favorit saya. Yang pertama adalah aljabar. Saya akan "membuktikan" bahwa semua angka adalah sama. Misalkan ada dua bilangan yang tidak sama. Oleh karena itu, salah satunya lebih besar dari yang lain, misalkan a > b. Mari kita asumsikan bahwa c adalah selisihnya

c \uXNUMXd a - b. Jadi kita memiliki a - b = c, dimana a = b + c.

Kami mengalikan kedua bagian yang terakhir dengan a - b:

a² – ab = ab + ac – b2 – bc.

Saya menerjemahkan ak ke sisi kiri, tentu saja saya ingat tentang mengubah tanda:

a² - ab - ac = ab - b2 - bc.

Saya mengecualikan faktor umum:

A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),

Saya berbagi dan saya memiliki apa yang saya inginkan:

a = b.

Dan sebenarnya lebih aneh lagi, karena saya berasumsi bahwa a > b, dan saya mendapatkan bahwa a = b. Jika pada contoh di atas "kecurangan" mudah dikenali, maka dalam pembuktian geometris di bawah ini tidak begitu mudah. Saya akan membuktikan bahwa ... trapesium tidak ada. Sosok yang biasa disebut trapesium tidak ada.

Tapi misalkan dulu ada yang namanya trapesium (ABCD pada gambar di bawah). Ini memiliki dua sisi paralel ("basis"). Mari kita regangkan alas ini, seperti yang ditunjukkan pada gambar, sehingga kita mendapatkan jajaran genjang. Diagonalnya membagi diagonal trapesium yang lain menjadi segmen-segmen yang panjangnya dilambangkan x, y, z, seperti pada angka 1. Dari keserupaan segitiga yang bersesuaian, kita peroleh perbandingan:

di mana kita mendefinisikan:

Oraz

di mana kita mendefinisikan:

Kurangi sisi persamaan yang ditandai dengan tanda bintang:

 Mempersingkat kedua sisi dengan x − z, kita mendapatkan – a/b = 1, yang berarti a + b = 0. Tetapi bilangan a, b adalah panjang alas trapesium. Jika jumlahnya nol, maka mereka juga nol. Artinya sosok seperti trapesium tidak mungkin ada! Dan karena persegi panjang, belah ketupat, dan bujur sangkar juga merupakan trapesium, maka, Pembaca yang budiman, tidak ada juga belah ketupat, persegi panjang, dan bujur sangkar ...

tebak tebakan

Berbagi informasi adalah yang paling menarik dan menantang dari empat kegiatan dasar. Di sini, untuk pertama kalinya, kami menemukan fenomena yang begitu umum di masa dewasa: "tebak jawabannya, lalu periksa apakah tebakan Anda benar." Hal ini diungkapkan dengan sangat tepat oleh Daniel K. Dennett (“How to Make Mistake?”, dalam How It Is – A Scientific Guide to the Universe, CiS, Warsaw, 1997):

Metode "menebak" ini tidak mengganggu kehidupan dewasa kita - mungkin karena kita mempelajarinya sejak dini dan menebak tidak sulit. Secara ideologis, fenomena yang sama terjadi, misalnya pada induksi matematika (lengkap). Di tempat yang sama, kami "menebak" rumus dan kemudian memeriksa apakah tebakan kami benar. Siswa selalu bertanya: “Bagaimana kita tahu polanya? Bagaimana itu bisa dikeluarkan?" Ketika siswa menanyakan pertanyaan ini kepada saya, saya mengubah pertanyaan mereka menjadi lelucon: "Saya tahu ini karena saya seorang profesional, karena saya dibayar untuk mengetahuinya." Siswa di sekolah dapat dijawab dengan gaya yang sama, hanya lebih serius.

Latihan. Perhatikan bahwa kita memulai penjumlahan dan perkalian tertulis dengan satuan terendah, dan pembagian dengan satuan tertinggi.

Kombinasi dari dua ide

Guru matematika selalu menunjukkan bahwa apa yang kita sebut pemisahan orang dewasa adalah penyatuan dua ide yang berbeda secara konseptual: Perumahan i pemisahan.

Yang pertama (Perumahan) terjadi dalam tugas-tugas di mana pola dasar adalah:

Bagi-bagi Ini adalah tugas-tugas seperti:

? (Kami mempertahankan gaya asli dari masalah ini, diambil dari buku pegangan Julian Zgozalewicz yang diterbitkan di Krakow pada tahun 1892 - złoty adalah Rhenish złoty, mata uang yang beredar di Kekaisaran Austro-Hongaria hingga awal abad ke-XNUMX).

Sekarang pertimbangkan dua masalah dengan buku teks matematika tertua dalam bahasa Polandia, ayah Tomasz Clos (1538). Apakah itu divisi atau coupe? Selesaikan dengan cara anak sekolah di abad XNUMX seharusnya:

(Terjemahan Bahasa Polandia ke Bahasa Polandia: Ada satu liter dan empat pot dalam satu tong. Sebuah pot adalah empat liter. Seseorang membeli 20 barel anggur seharga 50 zł untuk perdagangan. Bea dan pajak (cukai?) akan menjadi 8 zł. Berapa yang harus jual satu liter untuk mendapatkan 8 zł?)

Olahraga, fisika, keselarasan

Terkadang dalam olahraga Anda harus membagi sesuatu dengan nol (rasio gol). Nah, para hakim entah bagaimana menanganinya. Namun, dalam aljabar abstrak mereka ada dalam agenda. besaran bukan nolyang kuadratnya nol. Bahkan bisa dijelaskan secara sederhana.

Pertimbangkan fungsi F yang menghubungkan sebuah titik (y, 0) dengan sebuah titik pada bidang (x, y). Apa itu F², yaitu eksekusi ganda dari F? Fungsi nol - setiap titik memiliki gambar (0,0).

Akhirnya, besaran bukan-nol yang kuadratnya adalah 0 hampir setiap hari adalah roti harian bagi fisikawan, dan bilangan berbentuk a + bε, di mana 0, tetapi² = 0, panggilan matematikawan nomor ganda. Mereka terjadi dalam analisis matematis dan dalam geometri diferensial.

Lagi pula, ada sesuatu dalam aritmatika yang memiliki pembagian dengan nol setidaknya pada namanya. Berasal dari kesesuaian. Biarkan Z menunjukkan himpunan bilangan bulat. Membagi himpunan Z dengan p berarti kita menyamakan setiap bilangan (bilangan bulat) dengan bilangan lain, yaitu bilangan yang perbedaannya dapat dibagi. Jadi, jika kita memiliki lima jenis angka yang sesuai dengan angka 0, 1, 2, 3, 4 - sisa yang mungkin jika dibagi 5. Rumusnya ditulis seperti ini:

mod ketika perbedaannya adalah kelipatan.

Untuk = 2, kita hanya memiliki dua bilangan: 0 dan 1. Membagi bilangan bulat menjadi dua kelas seperti itu sama dengan membaginya menjadi genap dan ganjil. Ayo ganti sekarang. Selisihnya selalu habis dibagi 1 (setiap bilangan bulat habis dibagi 1). Apakah mungkin untuk mengambil =0? Mari kita coba: kapan selisih dua bilangan merupakan kelipatan nol? Hanya ketika kedua angka ini sama. Jadi membagi satu set bilangan bulat dengan nol masuk akal, tapi itu tidak menarik: tidak ada yang terjadi. Namun perlu ditegaskan bahwa ini bukanlah pembagian bilangan seperti yang diketahui sejak sekolah dasar.

Tindakan seperti itu dilarang, serta matematika yang panjang dan lebar.

Beras. 2. Identifikasi bilangan menggunakan perbandingan

(mode 5 dan mode 2)