Perjalanan ke dunia matematika yang tidak nyata

Saya menulis artikel ini di salah satu lingkungan, setelah kuliah dan praktek di sebuah perguruan tinggi ilmu komputer. Saya membela diri terhadap kritik terhadap siswa sekolah ini, pengetahuan mereka, sikap mereka terhadap sains dan, yang paling penting, keterampilan mengajar mereka. Ini... tidak ada yang mengajari mereka.

Mengapa saya begitu defensif? Untuk alasan sederhana - saya berada di usia ketika, mungkin, dunia di sekitar kita belum dipahami. Mungkin saya mengajari mereka untuk memanfaatkan dan melepaskan kuda, dan tidak mengendarai mobil? Mungkin saya mengajari mereka menulis dengan pena bulu ayam? Meskipun saya memiliki pendapat yang lebih baik tentang seseorang, saya menganggap diri saya “mengikuti”, tapi…

Sampai saat ini, di sekolah menengah, mereka berbicara tentang bilangan kompleks. Dan pada hari Rabu inilah saya pulang, berhenti - hampir tidak ada siswa yang belajar apa itu dan bagaimana menggunakan angka-angka ini. Beberapa melihat semua matematika seperti angsa di pintu yang dicat. Tetapi saya juga sangat terkejut ketika mereka memberi tahu saya cara belajar. Sederhananya, setiap jam kuliah adalah dua jam pekerjaan rumah: membaca buku teks, mempelajari cara memecahkan masalah pada topik tertentu, dll. Setelah mempersiapkan dengan cara ini, kami sampai pada latihan, di mana kami meningkatkan segalanya ... Menyenangkan, para siswa, tampaknya, berpikir bahwa duduk di kuliah - paling sering melihat ke luar jendela - sudah menjamin masuknya pengetahuan ke dalam kepala.

Berhenti! Cukup ini. Saya akan menjelaskan jawaban saya atas pertanyaan yang saya terima selama kelas dengan pemegang beasiswa Dana Anak Nasional, sebuah lembaga yang mendukung anak-anak berbakat dari seluruh negeri. Pertanyaannya (atau lebih tepatnya sarannya) adalah:

— Bisakah Anda memberi tahu kami sesuatu tentang bilangan tidak nyata?

"Tentu saja," jawabku. 

Realitas angka

“Seorang teman adalah aku yang lain, persahabatan adalah perbandingan angka 220 dan 284,” kata Pythagoras. Maksudnya di sini adalah bahwa jumlah pembagi dari angka 220 adalah 284, dan jumlah dari pembagi dari angka 284 adalah 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Kebetulan lain yang menarik antara angka 220 dan 284 adalah ini: tujuh belas bilangan prima tertinggi adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 , dan 59.

Jumlahnya adalah 2x220, dan jumlah kuadratnya adalah 59x284.

Pertama. Tidak ada konsep "bilangan real". Ini seperti setelah membaca artikel tentang gajah, Anda bertanya, "Sekarang kita akan menanyakan yang bukan gajah." Ada yang utuh dan tidak utuh, rasional dan irasional, tetapi tidak ada yang tidak nyata. Secara khusus: bilangan yang tidak nyata disebut tidak sah. Ada banyak jenis "angka" dalam matematika, dan mereka berbeda satu sama lain, seperti - untuk mengambil perbandingan zoologi - gajah dan cacing tanah.

Kedua, kita akan melakukan operasi yang mungkin sudah Anda ketahui dilarang: mengambil akar kuadrat dari bilangan negatif. Nah, matematika akan mengatasi hambatan seperti itu. Apakah itu masuk akal? Dalam matematika, seperti dalam ilmu lainnya, apakah suatu teori selamanya masuk ke dalam gudang pengetahuan bergantung ... pada penerapannya. Jika tidak berguna, maka itu berakhir di tempat sampah, lalu di beberapa sampah sejarah pengetahuan. Tanpa angka yang saya bicarakan di akhir artikel ini, matematika tidak mungkin berkembang. Tapi mari kita mulai dengan beberapa hal kecil. Apa itu bilangan real, Anda tahu. Mereka mengisi garis bilangan dengan padat dan tanpa celah. Anda juga tahu apa itu bilangan asli: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - semuanya tidak cocok memori bahkan yang terbesar. Mereka juga memiliki nama yang indah: alami. Mereka memiliki begitu banyak properti menarik. Bagaimana Anda menyukai ini:

1+15+42+98+123+179+206+220 = 3+11+46+92+129+175+210+218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

“Wajar jika tertarik pada bilangan asli,” kata Karl Lindenholm, dan Leopold Kronecker (1823–1891) dengan singkat mengatakan: “Tuhan menciptakan bilangan asli—segala sesuatu yang lain adalah karya manusia!” Pecahan (disebut bilangan rasional oleh ahli matematika) juga memiliki sifat yang menakjubkan:

dan dalam kesetaraan:

Anda dapat, mulai dari sisi kiri, menggosok plus dan menggantinya dengan tanda perkalian - dan persamaan akan tetap benar:

Dan seterusnya.

Seperti yang Anda ketahui, untuk pecahan a/b, di mana a dan b adalah bilangan bulat, dan b 0, mereka mengatakan bilangan rasional. Tapi hanya dalam bahasa Polandia mereka menyebut diri mereka seperti itu. Mereka berbicara bahasa Inggris, Prancis, Jerman, dan Rusia. bilangan rasional. Dalam bahasa Inggris: bilangan rasional. Bilangan irasional itu irasional, irasional. Kami juga berbicara bahasa Polandia tentang teori, ide, dan tindakan irasional - ini adalah kegilaan, imajiner, tidak dapat dijelaskan. Mereka mengatakan bahwa wanita takut pada tikus - bukankah itu sangat tidak rasional?

Pada zaman kuno, angka memiliki jiwa. Masing-masing berarti sesuatu, masing-masing melambangkan sesuatu, masing-masing mencerminkan partikel harmoni Alam Semesta itu, yaitu, dalam bahasa Yunani, Kosmos. Kata "kosmos" sebenarnya berarti "keteraturan, keteraturan". Yang paling penting adalah enam (angka sempurna) dan sepuluh, jumlah dari angka berurutan 1+2+3+4, yang terdiri dari angka-angka lain yang simbolismenya bertahan hingga hari ini. Jadi Pythagoras mengajarkan bahwa angka adalah awal dan sumber dari segalanya, dan hanya penemuan bilangan irasional mengubah gerakan Pythagoras menuju geometri. Kami tahu alasan dari sekolah bahwa

2 adalah bilangan irasional

Misalkan ada: dan bahwa pecahan ini tidak dapat direduksi. Khususnya, p dan q keduanya ganjil. Mari kita kuadratkan: 2q²=p². Bilangan p tidak boleh ganjil, karena p² juga akan menjadi, dan ruas kiri persamaan adalah kelipatan 2. Oleh karena itu, p genap, yaitu, p = 2r, maka p²= 4r². Kami mengurangi persamaan 2q²= 4r² dengan 2. Kami mendapatkan q²= 2r² dan kita melihat bahwa q juga harus genap, yang kita asumsikan tidak demikian. Kontradiksi yang dihasilkan melengkapi buktinya - Rumus ini sering ditemukan di setiap buku matematika. Bukti tidak langsung ini adalah trik favorit para sofis.

Luasnya ini tidak dapat dipahami oleh Pythagoras. Semuanya harus dapat digambarkan dengan angka, dan diagonal sebuah persegi, yang dapat digambar oleh siapa pun dengan tongkat di atas pasir, tidak memiliki panjang yang dapat diukur. “Iman kami sia-sia,” kata Pythagoras sepertinya. Bagaimana? Ini agak... tidak rasional. Serikat berusaha menyelamatkan diri dengan metode sektarian. Siapa pun yang berani mengungkapkan keberadaan mereka bilangan irasional, harus dihukum mati, dan, tampaknya, hukuman pertama dilakukan oleh tuannya sendiri.

Tapi "pikiran itu berlalu tanpa cedera." Masa keemasan telah tiba. Orang Yunani mengalahkan Persia (Marathon 490, Blok 479). Demokrasi diperkuat, pusat-pusat pemikiran filosofis baru dan aliran-aliran baru muncul. Pythagoras masih berjuang dengan bilangan irasional. Beberapa berkhotbah: kita tidak akan memahami misteri ini; kita hanya bisa merenungkan dan mengagumi Uncharted. Yang terakhir lebih pragmatis dan tidak menghormati Misteri. Pada saat itu, muncul dua konstruksi mental yang memungkinkan untuk memahami bilangan irasional. Fakta bahwa kita memahaminya dengan cukup baik hari ini adalah milik Eudoxus (abad ke-XNUMX SM), dan baru pada akhir abad ke-XNUMX matematikawan Jerman Richard Dedekind memberikan teori Eudoxus perkembangan yang tepat sesuai dengan persyaratan yang ketat. logika matematika.

Massa tokoh atau penyiksaan

Bisakah Anda hidup tanpa angka? Biarpun hidup seperti apa... Kami harus pergi ke toko untuk membeli sepatu dengan tongkat, yang sebelumnya kami ukur panjang kakinya. "Saya ingin apel, ah, ini dia!" – kami akan menunjukkan penjual di pasar. "Seberapa jauh dari Modlin ke Nowy Dwur Mazowiecki"? "Cukup dekat!"

Angka digunakan untuk mengukur. Dengan bantuan mereka, kami juga mengungkapkan banyak konsep lainnya. Misalnya, skala peta menunjukkan seberapa besar penurunan luas negara. Skala dua-ke-satu, atau hanya 2, mengungkapkan fakta bahwa sesuatu telah digandakan ukurannya. Katakanlah secara matematis: setiap homogenitas sesuai dengan angka - skalanya.

Tugas. Kami membuat salinan xerografis, memperbesar gambar beberapa kali. Kemudian pecahan yang diperbesar itu diperbesar lagi sebanyak b kali. Apa skala perbesaran umum? Jawaban: a × b dikalikan b. Timbangan ini perlu dikalikan. Angka "minus satu", -1, sesuai dengan satu presisi yang terpusat, yaitu diputar 180 derajat. Angka berapa yang sesuai dengan putaran 90 derajat? Tidak ada nomor seperti itu. Ini adalah, itu ... atau lebih tepatnya, itu akan segera. Apakah Anda siap untuk penyiksaan moral? Ambil keberanian dan ambil akar kuadrat dari minus satu. Saya sedang mendengarkan? Apa yang tidak bisa kamu? Lagipula, aku menyuruhmu untuk berani. Tarik keluar! Hei, nah, tarik, tarik ... Saya akan membantu ... Ini: -1 Sekarang kita memilikinya, mari kita coba menggunakannya ... Tentu saja, sekarang kita dapat mengekstrak akar dari semua bilangan negatif, untuk contoh.:

√-4 = 2√-1,-16 = 4√-1

"Terlepas dari penderitaan mental yang ditimbulkannya." Inilah yang ditulis Girolamo Cardano pada tahun 1539, mencoba mengatasi kesulitan mental yang terkait dengan - begitu kemudian disebut - besaran imajiner. Dia menganggap ini...

...Tugas. Bagilah 10 menjadi dua bagian, hasil kali 40. Saya ingat dari episode sebelumnya dia menulis sesuatu seperti ini: Tentu saja tidak mungkin. Namun, mari kita lakukan ini: bagi 10 menjadi dua bagian yang sama, masing-masing sama dengan 5. Lipat gandakan - ternyata 25. Dari hasil 25, sekarang kurangi 40, jika Anda suka, dan Anda mendapatkan -15. Sekarang lihat: √-15 ditambahkan dan dikurangi dari 5 menghasilkan hasil kali 40. Ini adalah angka 5-√-15 dan 5 + √-15. Verifikasi hasil dilakukan oleh Cardano sebagai berikut:

“Terlepas dari sakit hati yang ditimbulkannya, kalikan 5 + √-15 dengan 5-√-15. Kita mendapatkan 25 - (-15), yang sama dengan 25 + 15. Jadi, hasilnya adalah 40 .... Ini sangat sulit."

Nah, berapa: (1 + -1) (1-√-1)? Mari berlipat ganda. Ingat bahwa -1 × -1 = -1. Besar. Sekarang tugas yang lebih sulit: dari a + b√-1 ke ab√-1. Apa yang terjadi? Tentu saja, seperti ini: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Apa yang menarik tentang ini? Misalnya, fakta bahwa kita dapat memfaktorkan ekspresi yang "tidak kita ketahui sebelumnya". Rumus perkalian yang disingkat untuk²-b² Apakah Anda ingat rumus untuk²+b² tidak, karena tidak mungkin. Dalam domain bilangan real, polinomial²+b² itu tidak bisa dihindari. Mari kita tunjukkan akar kuadrat "kami" dari "minus satu" dengan huruf i.²= -1. Ini adalah bilangan prima yang "tidak nyata". Dan itulah yang menggambarkan putaran 90 derajat dari sebuah pesawat. Mengapa? Lagipula,²= -1, dan menggabungkan satu rotasi 90 derajat dan rotasi 180 derajat lainnya menghasilkan rotasi 45 derajat. Apa jenis rotasi yang dijelaskan? Jelas berbelok XNUMX derajat. Apa artinya -i? Ini sedikit lebih rumit:

(s)² = -i × (-i) = + i² = -1

Jadi -i juga menggambarkan rotasi 90 derajat, hanya dalam arah yang berlawanan dari rotasi i. Mana yang kiri dan mana yang kanan? Anda harus membuat janji. Kami berasumsi bahwa angka i menentukan rotasi ke arah yang dianggap positif oleh matematikawan: berlawanan arah jarum jam. Angka -i menggambarkan rotasi ke arah pergerakan pointer.

Tapi apakah angka seperti i dan -i ada? Adalah! Kami baru saja menghidupkan mereka. Saya sedang mendengarkan? Bahwa mereka hanya ada di kepala kita? Nah apa yang diharapkan? Semua nomor lain juga hanya ada di pikiran kita. Kita perlu melihat apakah jumlah bayi kita yang baru lahir bertahan. Lebih tepatnya, apakah desainnya logis dan apakah akan berguna untuk sesuatu. Tolong pegang kata-kata saya bahwa semuanya beres dan angka-angka baru ini sangat membantu. Bilangan seperti 3+i, 5-7i, lebih umum: a+bi disebut bilangan kompleks. Saya menunjukkan kepada Anda bagaimana Anda bisa mendapatkannya dengan memutar pesawat. Mereka dapat dimasukkan dengan cara yang berbeda: sebagai titik dalam bidang, sebagai beberapa polinomial, sebagai beberapa jenis array numerik ... dan setiap kali mereka sama: persamaan x² +1=0 tidak ada elemen... hocus pocus sudah ada!!!! Mari bergembira dan bergembira!!!

Akhir tur

Ini mengakhiri tur pertama kami di negara nomor palsu. Dari angka-angka wajar lainnya, saya juga akan menyebutkan angka-angka yang memiliki jumlah digit tak terbatas di depan, dan bukan di belakang (mereka disebut 10-adik, bagi kami p-adik lebih penting, di mana p adalah bilangan prima), karena contoh X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Mari kita hitung X tolong². Karena? Bagaimana jika kita menghitung kuadrat dari suatu angka yang diikuti oleh jumlah digit yang tak terbatas? Nah, mari kita lakukan hal yang sama. Kita tahu bahwa x² = H

Mari kita cari nomor lain dengan jumlah digit tak terbatas di depan yang memenuhi persamaan. Petunjuk: kuadrat dari angka yang berakhiran enam juga berakhir dengan enam. Kuadrat suatu bilangan yang berakhiran 76 juga berakhir dengan 76. Kuadrat suatu bilangan yang berakhiran 376 juga berakhir dengan 376. Kuadrat suatu bilangan yang berakhiran 9376 juga berakhir dengan 9376. Kuadrat suatu bilangan yang berakhiran XNUMX XNUMX pada… Ada juga angka yang sangat kecil sehingga, karena positif, mereka tetap lebih kecil daripada angka positif lainnya. Mereka sangat kecil sehingga terkadang cukup dengan mengkuadratkannya untuk mendapatkan nol. Ada bilangan yang tidak memenuhi syarat a × b = b × a. Ada juga jumlah tak terbatas. Ada berapa bilangan asli? Banyak tak terhingga? Ya, tapi berapa? Bagaimana ini bisa dinyatakan sebagai angka? Jawaban: bilangan terkecil dari tak hingga; itu ditandai dengan huruf yang indah: A dan dilengkapi dengan indeks nol A₀ , aleph-nol.

Ada juga angka-angka yang kami tidak tahu ada... atau yang bisa Anda percaya atau tidak percaya sesuka Anda. Dan berbicara tentang sejenisnya: Saya harap Anda masih menyukai Unreal Numbers, Fantasy Species Numbers.