Cipher dan mata-mata

Di Pojok Matematika hari ini, saya akan melihat topik yang saya diskusikan di Perkemahan Sains tahunan National Children's Foundation untuk anak-anak. Yayasan mencari anak-anak dan remaja dengan minat ilmiah. Anda tidak harus sangat berbakat, tetapi Anda harus memiliki "semangat ilmiah". Nilai sekolah yang sangat bagus tidak diperlukan. Cobalah, Anda mungkin menyukainya. Jika Anda seorang siswa sekolah dasar atau sekolah menengah atas, terapkan. Biasanya orang tua atau sekolah yang membuat laporan, namun tidak selalu demikian. Temukan situs web Yayasan dan cari tahu.

Semakin banyak pembicaraan di sekolah tentang "coding", mengacu pada kegiatan yang sebelumnya dikenal sebagai "pemrograman". Ini adalah prosedur umum untuk pendidik teoretis. Mereka menggali metode lama, memberi mereka nama baru, dan "kemajuan" berjalan dengan sendirinya. Ada beberapa daerah di mana fenomena siklus seperti itu terjadi.

Dapat disimpulkan bahwa saya mendevaluasi didaktik. Tidak. Dalam perkembangan peradaban, terkadang kita kembali ke apa yang dulu, ditinggalkan, dan sekarang dihidupkan kembali. Tapi sudut kami adalah matematis, bukan filosofis.

Milik komunitas tertentu juga berarti "simbol umum", bacaan umum, ucapan dan perumpamaan. Orang yang mempelajari bahasa Polandia dengan sempurna "ada semak besar di Szczebrzeszyn, kumbang berdengung di alang-alang" akan segera diekspos sebagai mata-mata negara asing jika dia tidak menjawab pertanyaan tentang apa yang dilakukan burung pelatuk. Tentu saja dia tercekik!

Ini bukan hanya lelucon. Pada bulan Desember 1944, Jerman melancarkan serangan terakhir mereka di Ardennes dengan biaya besar. Mereka mengerahkan tentara yang fasih berbahasa Inggris untuk mengganggu pergerakan pasukan sekutu, misalnya dengan mengarahkan mereka ke arah yang salah di persimpangan jalan. Setelah beberapa saat terkejut, orang-orang Amerika itu mulai mengajukan pertanyaan-pertanyaan mencurigakan kepada para prajurit, yang jawabannya akan jelas bagi seseorang dari Texas, Nebraska atau Georgia dan tidak terbayangkan bagi seseorang yang tidak tumbuh besar di sana. Ketidaktahuan akan realitas mengarah langsung ke eksekusi.

Ke titik. Saya merekomendasikan kepada pembaca buku karya Lukasz Badowski dan Zaslaw Adamashek "Laboratorium di Laci Meja - Matematika". Ini adalah buku luar biasa yang dengan cemerlang menunjukkan bahwa matematika sangat berguna untuk sesuatu dan bahwa "eksperimen matematika" bukanlah kata-kata kosong. Ini mencakup, antara lain, konstruksi yang dijelaskan dari "teka-teki kardus" - sebuah perangkat yang hanya membutuhkan waktu lima belas menit untuk kita buat dan yang bekerja seperti mesin sandi yang serius. Idenya sendiri sangat terkenal, penulis yang disebutkan mengerjakannya dengan indah, dan saya akan mengubahnya sedikit dan membungkusnya dengan pakaian yang lebih matematis.

gergaji besi

Di salah satu jalan desa dacha saya di pinggiran Warsawa, trotoar baru-baru ini dibongkar dari "trlinka" - lempengan paving heksagonal. Perjalanan itu tidak nyaman, tetapi jiwa ahli matematika itu bersukacita. Menutupi pesawat dengan poligon biasa (yaitu biasa) tidaklah mudah. Itu hanya bisa berupa segitiga, bujur sangkar, dan segi enam biasa.

Mungkin saya sedikit bercanda dengan kegembiraan spiritual ini, tetapi segi enam adalah sosok yang indah. Dari situ Anda dapat membuat perangkat enkripsi yang cukup sukses. Geometri akan membantu. Segi enam memiliki simetri rotasi - tumpang tindih ketika diputar dengan kelipatan 60 derajat. Bidang yang ditandai, misalnya, dengan huruf A di kiri atas ara. 1 setelah melewati sudut ini, ia juga akan jatuh ke dalam kotak A - dan sama dengan huruf lainnya. Jadi mari kita potong enam kotak dari kisi, masing-masing dengan huruf yang berbeda. Kami meletakkan kisi yang diperoleh dengan cara ini di selembar kertas. Di enam bidang gratis, masukkan enam huruf dari teks yang ingin kami enkripsi. Mari putar lembaran 60 derajat. Enam bidang baru akan muncul - masukkan enam huruf berikutnya dari pesan kita.

Beras. 1. Trik kegembiraan matematika.

Di kanan ara. 1 kami memiliki teks yang dikodekan dengan cara ini: "Ada lokomotif uap besar yang berat di stasiun."

Sekarang sedikit matematika sekolah akan berguna. Dalam berapa cara dua bilangan dapat disusun relatif satu sama lain?

Pertanyaan bodoh apa? Untuk dua: salah satu di depan atau yang lain.

Bagus sekali. Dan tiga angka?

Juga tidak sulit untuk membuat daftar semua pengaturan:

123, 132, 213, 231, 312, 321.

Nah, itu untuk empat! Masih bisa tergambar dengan jelas. Tebak aturan pesanan yang saya berikan:

1234, 1243, 1423, 4123, 1324, 1342,

1432, 4132, 2134, 2143, 2413, 4213,

2314, 2341, 2431, 4231, 3124, 3142,

3412, 4312, 3214, 3241, 3421, 4321

Ketika angkanya lima, kita mendapatkan 120 kemungkinan pengaturan. Mari kita panggil mereka permutasi. Banyaknya kemungkinan permutasi dari n bilangan adalah hasil kali 1 2 3 ... n, disebut сильный dan ditandai dengan tanda seru: 3!=6, 4!=24, 5!=120. Untuk nomor 6 berikutnya kita memiliki 6!=720. Kami akan menggunakan ini untuk membuat perisai sandi heksagonal kami lebih kompleks.

Kami memilih permutasi angka dari 0 hingga 5, misalnya 351042. Disk pengacakan heksagonal kami memiliki tanda hubung di bidang tengah - sehingga dapat diletakkan "di posisi nol" - tanda hubung ke atas, seperti pada gambar. 1. Kami meletakkan disk dengan cara ini di selembar kertas di mana kami harus menulis laporan kami, tetapi kami tidak langsung menulisnya, tetapi memutarnya tiga kali 60 derajat (yaitu 180 derajat) dan memasukkan enam huruf ke dalamnya. bidang-bidang yang kosong. Kami kembali ke posisi awal. Kami memutar dial lima kali sebanyak 60 derajat, yaitu, dengan lima "gigi" dial kami. Kami mencetak. Posisi skala selanjutnya adalah posisi diputar 60 derajat sekitar nol. Posisi keempat adalah 0 derajat, ini adalah posisi awal.

Apakah Anda mengerti apa yang terjadi? Kami memiliki peluang tambahan - untuk memperumit "mesin" kami lebih dari tujuh ratus kali! Jadi, kami memiliki dua posisi independen dari "otomat" - pilihan grid dan pilihan permutasi. Kisi dapat dipilih dalam 66 = 46656 cara, permutasi 720. Ini memberikan 33592320 kemungkinan. Lebih dari 33 juta sandi! Hampir sedikit berkurang, karena beberapa kisi tidak dapat dipotong dari kertas.

Di bagian bawah ara. 1 kami memiliki pesan berkode seperti ini: "Saya mengirimi Anda empat divisi parasut." Sangat mudah untuk memahami bahwa musuh tidak boleh dibiarkan mengetahui hal ini. Tapi apakah dia akan mengerti semua ini:

TPOROPVMANVEORDISZ

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy

bahkan dengan tanda tangan 351042?

Kami sedang membangun Enigma, mesin sandi Jerman

Beras. 2. Contoh pengaturan awal mesin enkripsi kami.

Permutasi (AF) (BJ) (CL) (DW) (EI) (GT) (HO) (KS) (MX) (NU) (PZ) (RY).

Seperti yang telah saya sebutkan, saya berutang ide untuk membuat mesin karton seperti itu pada buku "Lab in a Drawer - Math". "Konstruksi" saya agak berbeda dari yang diberikan oleh penulisnya.

Mesin cipher yang digunakan oleh Jerman selama perang memiliki prinsip yang sangat sederhana, agak mirip dengan yang kita lihat dengan cipher hex. Setiap kali hal yang sama: memecahkan tugas berat surat ke surat lain. Itu harus bisa diganti. Bagaimana melakukannya untuk memiliki kendali atasnya?

Mari kita pilih bukan permutasi apa pun, tetapi permutasi yang memiliki siklus 2. Sederhananya, sesuatu seperti "Gaderipoluk" yang dijelaskan di sini beberapa bulan yang lalu, tetapi mencakup semua huruf alfabet. Mari kita sepakati 24 huruf - tanpa ą, ę, ć, ó, ń, ś, ó, ż, ź, v, q. Berapa banyak permutasi seperti itu? Ini adalah tugas lulusan SMA (seharusnya mereka bisa langsung menyelesaikannya). Berapa banyak? Banyak? Beberapa ribu? Ya:

1912098225024001185793365052108800000000 (jangan coba-coba membaca nomor ini). Ada begitu banyak kemungkinan untuk mengatur posisi "nol". Dan itu bisa sulit.

Mesin kami terdiri dari dua cakram bundar. Di salah satu dari mereka, yang masih berdiri, surat-surat ditulis. Ini sedikit seperti tombol telepon lama, di mana Anda memutar nomor dengan memutar tombol sepenuhnya. Rotary adalah yang kedua dengan skema warna. Cara termudah adalah dengan meletakkannya di gabus biasa menggunakan peniti. Alih-alih gabus, Anda bisa menggunakan papan tipis atau karton tebal. Lukasz Badowski dan Zasław Adamaszek merekomendasikan menempatkan kedua disk dalam kotak CD.

Bayangkan kita ingin menyandikan kata ARMATY (Beras. 2 dan 3). Atur perangkat ke posisi nol (panah ke atas). Huruf A sesuai dengan F. Putar sirkuit internal satu huruf ke kanan. Kami memiliki huruf R untuk dikodekan, sekarang sesuai dengan A. Setelah rotasi berikutnya, kami melihat bahwa huruf M sesuai dengan U. Rotasi berikutnya (diagram keempat) menghasilkan korespondensi A - P. Pada putaran kelima kami memiliki T - A. Akhirnya (lingkaran keenam ) Y – Y Musuh mungkin tidak akan menebak bahwa CFCFA kita akan berbahaya baginya. Dan bagaimana "milik kita" akan membaca kiriman itu? Mereka harus memiliki mesin yang sama, "diprogram" yang sama, yaitu dengan permutasi yang sama. Cipher dimulai dari posisi nol. Jadi nilai F adalah A. Putar tombol searah jarum jam. Huruf A sekarang diasosiasikan dengan R. Dia memutar tombol ke kanan dan di bawah huruf U menemukan M, dll. Petugas sandi berlari ke jenderal: "Jenderal, saya melaporkan, senjatanya datang!"

Beras. 3. Prinsip pengoperasian Enigma kertas kami.

Beras. 3. Prinsip pengoperasian Enigma kertas kami.

Kemungkinan dari Enigma primitif sekalipun sangat menakjubkan. Kita dapat memilih permutasi keluaran lainnya. Kita bisa - dan ada lebih banyak peluang di sini - bukan dengan satu "serif" secara teratur, tetapi dalam urutan tertentu yang berubah setiap hari, mirip dengan segi enam (misalnya, tiga huruf pertama, lalu tujuh, lalu delapan, empat ... .. dll.).

Bagaimana Anda bisa menebak?! Namun untuk matematikawan Polandia (Marian Reevski, Henryk dari Zigalski, Ezhi Ruzicki) telah terjadi. Informasi yang diperoleh dengan demikian sangat berharga. Sebelumnya, mereka memiliki kontribusi yang sama pentingnya bagi sejarah pertahanan kita. Vaclav Serpinski i Stanislav Mazurkevichyang melanggar kode pasukan Rusia pada tahun 1920. Kabel yang dicegat memberi Piłsudski kesempatan untuk melakukan manuver terkenal dari Sungai Vepsz.

Saya ingat Vaslav Sierpinski (1882-1969). Dia tampak seperti ahli matematika yang tidak mengenal dunia luar. Dia tidak dapat berbicara tentang partisipasinya dalam kemenangan pada tahun 1920 baik untuk militer dan ... karena alasan politik (otoritas Republik Rakyat Polandia tidak menyukai mereka yang membela kami dari Uni Soviet).

Ara. 4. Permutasi (AP) (BF) (CM) (DS) (EW) (GY) (HK) (IU) (JX) (LZ) (NR) (OT).

Beras. 5. Dekorasi yang indah, tetapi tidak cocok untuk enkripsi. Terlalu teratur.

Pekerjaan 1. Na ara. 4 Anda memiliki permutasi lain untuk membuat Enigma. Salin gambar ke xerograph. Bangun mobil, kode nama depan dan belakang Anda. CWONUE JTRYGT saya. Jika Anda perlu merahasiakan catatan Anda, gunakan Cardboard Enigma.

Pekerjaan 2. Enkripsi nama dan nama keluarga Anda dari salah satu "mobil" yang Anda lihat, tetapi (perhatian!) dengan komplikasi tambahan: kami tidak berbelok ke kanan, tetapi sesuai dengan skema {1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, ....} - yaitu, pertama dengan satu, lalu dengan dua, lalu dengan tiga, lalu dengan 2, lalu dengan 1, lalu dengan 2, dll., "Wavelet" seperti itu . Pastikan nama depan dan belakang saya dienkripsi sebagai CZTTAK SDBITH. Sekarang apakah Anda mengerti seberapa kuat mesin Enigma itu?

Pemecahan masalah untuk lulusan sekolah menengah. Berapa banyak opsi konfigurasi untuk Enigma (dalam versi ini, seperti yang dijelaskan dalam artikel)? Kami memiliki 24 huruf. Kami memilih pasangan huruf pertama - ini bisa dilakukan

cara. Pasangan berikutnya dapat dipilih pada

cara, lebih banyak

dll. Setelah perhitungan yang sesuai (semua angka harus dikalikan), kita mendapatkan

151476660579404160000

Kemudian bagi angka itu dengan 12! (12 faktorial), karena pasangan yang sama dapat diperoleh dengan urutan yang berbeda. Jadi pada akhirnya kita mendapatkan "total"

316234143225,

itu hanya lebih dari 300 miliar, yang tidak tampak seperti jumlah yang sangat besar untuk superkomputer saat ini. Namun, jika urutan acak dari permutasi itu sendiri diperhitungkan, jumlah ini meningkat secara signifikan. Kita juga dapat memikirkan jenis permutasi lainnya.

Lihat juga: