Artikel tentang apa-apa

Sebagai seorang anak, saya terpesona oleh cerita, yang mungkin diketahui banyak pembaca, tentang "sup di atas paku". Nenek saya (abad ke-XNUMX kelahiran) memberi tahu saya ini dalam versi "Cossack datang dan meminta air, karena dia punya paku dan dia akan memasak sup di atasnya." Nyonya rumah yang penasaran memberinya sepanci air… dan kita tahu apa yang terjadi selanjutnya: “supnya harus asin, daitye, nenek, garam”, lalu dia mencuci dagingnya “untuk meningkatkan rasanya” dan seterusnya. Pada akhirnya, dia membuang paku yang "direbus".

Jadi artikel ini seharusnya tentang kekosongan ruang - dan ini tentang pendaratan peralatan Eropa di komet 67P / Churyumov-Gerasimenko pada 12 November 2014. Namun saat menulis, saya mengalah pada kebiasaan lama, Saya masih seorang matematikawan. Bagaimana dengan Sukaс Nol matematika?

Bagaimana Tidak Ada?

Tidak dapat dikatakan bahwa Tiada ada. Itu ada setidaknya sebagai konsep filosofis, matematika, agama dan bahasa sehari-hari yang sempurna. Nol adalah angka biasa, nol derajat pada termometer juga merupakan suhu, dan keseimbangan nol di bank adalah kejadian yang tidak menyenangkan tetapi umum. Perhatikan bahwa tidak ada tahun nol dalam kronologi, dan ini karena nol diperkenalkan ke dalam matematika hanya pada akhir Abad Pertengahan, lebih lambat dari kronologi yang diusulkan oleh biarawan Dionysius (abad XNUMX).

Anehnya, kita benar-benar dapat melakukannya tanpa nol ini dan, karenanya, tanpa angka negatif. Di salah satu buku teks logika, saya menemukan latihan: menggambar atau mengatakan bagaimana Anda membayangkan tidak adanya ikan. Menakjubkan, bukan? Ada yang bisa menggambar ikan, tapi tidak satu pun?

Sekarang sebentar kursus dasar matematika. Memberikan hak istimewa keberadaan ke himpunan kosong yang ditandai dengan lingkaran yang dicoret adalah prosedur penting yang dianalogikan dengan menambahkan nol ke himpunan bilangan. Himpunan kosong adalah satu-satunya himpunan yang tidak mengandung elemen apapun. Koleksi seperti itu:

Tetapi tidak ada dua set kosong yang berbeda. Set kosong termasuk dalam setiap set lainnya:

Memang, aturan logika matematika mengatakan bahwa himpunan A terkandung dalam himpunan B jika dan hanya jika kalimat:

itu memerlukan

Dalam kasus himpunan kosong ∅, proposisinya selalu salah, dan dengan demikian, menurut hukum logika, implikasinya secara umum benar. Semuanya bermula dari kebohongan (“di sini saya akan menanam kaktus jika Anda pindah ke kelas berikutnya…”). Jadi, karena himpunan kosong dimuat di masing-masing yang lain, maka jika keduanya berbeda, masing-masing akan dimuat di yang lain. Namun, jika dua himpunan berada di dalam satu sama lain, keduanya sama. Itu sebabnya: hanya ada satu set kosong!

Postulat keberadaan himpunan kosong tidak bertentangan dengan hukum matematika mana pun, jadi mengapa tidak menghidupkannya? Prinsip filosofis yang disebutpisau cukur Occam» Perintah untuk mengecualikan konsep yang tidak perlu, tetapi tepat konsep himpunan kosong sangat berguna dalam matematika. Perhatikan bahwa himpunan kosong memiliki dimensi -1 (dikurangi satu) - elemen berdimensi nol adalah titik dan sistemnya yang jarang, elemen satu dimensi adalah garis, dan kita berbicara tentang elemen matematika yang sangat kompleks dengan dimensi fraktal dalam bab tentang fraktal. .

Sangat menarik bahwa seluruh bangunan matematika: bilangan, bilangan, fungsi, operator, integral, diferensial, persamaan ... dapat diturunkan dari satu konsep - himpunan kosong! Cukup dengan mengasumsikan bahwa ada himpunan kosong, elemen yang baru dibuat dapat digabungkan menjadi himpunan untuk dapat membangun semua matematika. Beginilah cara ahli logika Jerman Gottlob Frege menyusun bilangan asli. Nol adalah kelas himpunan yang elemen-elemennya saling berkorespondensi dengan elemen-elemen himpunan kosong. Satu adalah kelas himpunan yang elemen-elemennya saling berkorespondensi dengan elemen-elemen dari suatu himpunan yang satu-satunya elemennya adalah himpunan kosong. Dua adalah kelas himpunan yang elemen-elemennya satu-satu dengan elemen-elemen himpunan yang terdiri dari himpunan kosong dan himpunan yang elemennya hanya himpunan kosong... dan seterusnya. Sepintas, ini tampaknya menjadi sesuatu yang sangat rumit, tetapi sebenarnya tidak.

Biru menyebar di atasku

wangi heather dan wangi mint...

Wojciech Mlynarski, Gadis Panen

Sulit dibayangkan

Tidak ada yang sulit untuk dibayangkan. Dalam cerita Stanisław Lem "Bagaimana Dunia Diselamatkan", desainer Trurl membuat mesin yang akan melakukan segalanya dimulai dengan huruf. Ketika Klapucius memerintahkannya untuk dibangun Nic, mesin mulai mengeluarkan berbagai objek dari dunia - dengan tujuan akhir untuk menghilangkan semuanya. Pada saat Klapaucius yang ketakutan menghentikan mobil, galai, yew, gantung, retasan, sajak, pemukul, pouf, penggiling, tusuk sate, philidron, dan embun beku telah menghilang dari dunia selamanya. Dan memang, mereka menghilang selamanya ...

Józef Tischner menulis dengan sangat baik tentang ketiadaan dalam bukunya History of Mountain Philosophy. Selama liburan terakhir saya, saya memutuskan untuk mengalami ketiadaan ini, yaitu saya pergi ke rawa gambut antara Nowy Targ dan Jabłonka di Podhale. Daerah ini bahkan disebut Pustachia. Anda pergi, Anda pergi, tetapi jalannya tidak menurun - tentu saja, dalam skala Polandia kami yang sederhana. Suatu hari saya naik bus di provinsi Saskatchewan, Kanada. Di luar ada ladang jagung. Saya tidur siang selama setengah jam. Saat aku bangun, kami melewati ladang jagung yang sama... Tapi tunggu, apa ini kosong? Dalam arti tertentu, ketiadaan perubahan hanyalah kekosongan.

Kita terbiasa dengan kehadiran konstan berbagai objek di sekitar kita, dan dari Sesuatu Anda tidak dapat melarikan diri bahkan dengan mata tertutup. “Saya berpikir, maka saya ada,” kata Descartes. Jika saya sudah memikirkan sesuatu, maka saya ada, yang berarti setidaknya ada sesuatu di dunia (yaitu, saya). Apakah yang saya pikirkan itu ada? Ini dapat didiskusikan, tetapi dalam mekanika kuantum modern, prinsip Heisenberg diketahui: setiap pengamatan mengganggu keadaan objek yang diamati. Sampai kita melihatnya Nic itu tidak ada, dan ketika kita mulai mencari, objek itu berhenti menjadi Suka dan itu menjadi Sesuatu. Ini semakin tidak masuk akal prinsip antropik: Tidak ada gunanya bertanya seperti apa dunia jika kita tidak ada. Dunia adalah apa yang tampak bagi kita. Mungkin makhluk lain akan melihat Bumi sebagai sudut?

Positron (elektron positif semacam itu) adalah lubang di ruang angkasa, "tidak ada elektron". Dalam proses pemusnahan, elektron melompat ke dalam lubang ini dan “tidak terjadi apa-apa” – tidak ada lubang, tidak ada elektron. Saya akan melewatkan banyak lelucon tentang lubang di keju Swiss ("semakin banyak yang saya miliki, semakin sedikit ..."). Komposer terkenal John Cage telah menggunakan idenya sedemikian rupa sehingga dia menggubah (?) sebuah karya musik (?) di mana orkestra duduk diam selama 4 menit 33 detik dan, tentu saja, tidak memainkan apapun. “Empat menit tiga puluh tiga detik adalah dua ratus tujuh puluh tiga, 273, dan minus 273 derajat adalah nol mutlak, di mana semua gerakan berhenti,” jelas sang komposer (?).

Filter ke nol, tidak ada, nick, nick, tidak ada, nol!

Jerzy dalam film Andrzej Wajda Selama Bertahun-tahun,

hari-hari berlalu"

Bagaimana dengan semua orang?

Banyak orang (dari petani sederhana hingga filosof terkemuka) bertanya-tanya tentang fenomena keberadaan. Dalam matematika, situasinya sederhana: ada sesuatu yang konsisten.

Dia menghilang ke bidang marginal

Di bunga jagung, rumput liar, dan mulut singa…

Nah, hal-hal seperti ini terjadi

Terutama saat panen, dan saat panen

khususnya…

Wojciech Mlynarski, Gadis Panen

Semuanya berada di titik ekstrem lainnya dari Ketiadaan. Dalam matematika, kita tahu bahwa Semuanya tidak ada. Hanya gagasan yang terlalu tidak akurat bahwa keberadaannya akan bebas dari kontroversi. Ini dapat dipahami dengan contoh paradoks lama: "Jika Tuhan mahakuasa, lalu ciptakan batu untuk diambil?" Bukti matematis bahwa tidak mungkin ada himpunan semua himpunan didasarkan pada teorema penyanyi-Bershtein, yang mengatakan bahwa "jumlah tak terbatas" (matematis: bilangan pokok) himpunan semua anggota himpunan tertentu lebih besar dari jumlah anggota himpunan ini.

Jika suatu himpunan memiliki elemen, maka ia memiliki 2ⁿ himpunan bagian; misalnya, ketika = 3 dan himpunan terdiri dari {1, 2, 3}, maka himpunan bagian berikut ada:

• tiga set dua elemen: masing-masing kehilangan salah satu dari angka 1, 2, 3,
• satu set kosong,
• tiga set satu elemen,
• seluruh rangkaian {1,2,3}

- hanya delapan, 2³Dan pembaca yang baru saja lulus dari sekolah, saya ingin mengingat formula yang sesuai:

Setiap simbol Newton dalam rumus ini menentukan jumlah himpunan k-elemen dalam himpunan -elemen.

Dalam matematika, koefisien binomial muncul di banyak tempat lain, seperti dalam rumus menarik untuk perkalian tereduksi:

dan dari bentuknya yang tepat, saling ketergantungan mereka jauh lebih menarik.

Sulit untuk memahami apa - sejauh menyangkut logika dan matematika - itu, dan apa yang bukan Semuanya. Argumen untuk tidak adanya Sama seperti Winnie the Pooh, yang dengan sopan bertanya kepada tamunya, Tiger, apakah Macan menyukai madu, biji pohon ek, dan onak? “Harimau suka semuanya,” jawab yang darinya Kubus menyimpulkan bahwa jika mereka menyukai semuanya, maka mereka juga suka tidur di lantai, oleh karena itu dia, Vinnie, bisa kembali ke tempat tidur.

Argumen lain paradoks Russell. Ada seorang tukang cukur di kota yang mencukur semua pria yang tidak mencukur dirinya sendiri. Apakah dia mencukur dirinya sendiri? Kedua jawaban itu bertentangan dengan syarat yang dikemukakan bahwa mereka membunuh mereka, dan hanya mereka yang tidak melakukannya sendiri.

Mencari koleksi semua koleksi

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan bukti yang cerdas, tetapi sebagian besar matematis bahwa tidak ada himpunan semua himpunan (jangan bingung dengan itu).

Pertama, kita akan menunjukkan bahwa untuk sembarang himpunan tak kosong X, tidak mungkin menemukan fungsi unik yang saling menguntungkan yang memetakan himpunan ini ke himpunan himpunan bagiannya P(X). Jadi mari kita asumsikan bahwa fungsi ini ada. Mari kita tunjukkan dengan f tradisional. Berapa f dari x? Ini adalah koleksi. Apakah xf milik x? Ini tidak diketahui. Entah Anda harus atau tidak. Tetapi untuk beberapa x harus tetap sedemikian rupa sehingga bukan milik f dari x. Nah, kemudian pertimbangkan himpunan semua x yang x bukan milik f(x). Dilambangkan (set ini) dengan A. Ini sesuai dengan beberapa elemen a dari himpunan X. Apakah a milik A? Mari kita asumsikan Anda harus. Tapi A adalah himpunan yang hanya berisi elemen x yang bukan milik f(x) ... Yah, mungkin itu bukan milik A? Tetapi himpunan A berisi semua elemen dari sifat ini, dan karenanya juga A. Akhir dari pembuktian.

Oleh karena itu, jika ada himpunan semua himpunan, itu sendiri akan menjadi subset dari dirinya sendiri, yang tidak mungkin menurut penalaran sebelumnya.

Fiuh, saya tidak berpikir banyak pembaca telah melihat bukti ini. Sebaliknya, saya mengangkatnya untuk menunjukkan apa yang harus dilakukan para matematikawan pada akhir abad kesembilan belas, ketika mereka mulai mempelajari dasar-dasar sains mereka sendiri. Ternyata masalah terletak di mana tidak ada yang mengharapkannya. Selain itu, untuk keseluruhan matematika, alasan tentang basis ini tidak penting: tidak peduli apa yang terjadi di ruang bawah tanah - seluruh bangunan matematika berdiri di atas batu yang kokoh.

Sementara itu, di puncak...

Kami mencatat satu lagi moralitas dari kisah Stanislav Lem. Dalam salah satu perjalanannya, Iyon Tichi mencapai sebuah planet yang penghuninya, setelah melalui evolusi yang panjang, akhirnya mencapai tahap perkembangan tertinggi. Mereka semua kuat, mereka bisa melakukan apa saja, mereka memiliki segalanya di ujung jari mereka… dan mereka tidak melakukan apa-apa. Mereka berbaring di atas pasir dan menuangkannya di antara jari-jari mereka. “Jika semuanya mungkin, itu tidak sepadan,” mereka menjelaskan kepada Ijon yang terkejut. Semoga ini tidak terjadi pada peradaban Eropa kita...