JADI UNTUK SIAPA, yaitu: COBA DIMANA BISA - part 2

Di episode sebelumnya, kita membahas Sudoku, sebuah permainan aritmatika di mana angka-angka pada dasarnya diatur dalam berbagai diagram sesuai dengan aturan tertentu. Varian yang paling umum adalah papan catur 9x9, juga dibagi menjadi sembilan sel 3x3. Angka dari 1 hingga 9 harus diatur di atasnya sehingga tidak berulang baik dalam baris vertikal (matematikawan mengatakan: dalam kolom) atau dalam baris horizontal (matematika mengatakan: berturut-turut) - dan, terlebih lagi, sehingga mereka tidak mengulangi. ulangi dalam kotak yang lebih kecil.

Na ara. 1 kami melihat teka-teki ini dalam versi yang lebih sederhana, yaitu kotak 6 × 6 yang dibagi menjadi persegi panjang 2 × 3. Kami memasukkan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 ke dalamnya - agar tidak berulang secara vertikal, juga horizontal, atau di setiap segi enam yang dipilih.

Mari kita coba ditampilkan di kotak atas. Bisakah Anda mengisinya dengan angka dari 1 sampai 6 sesuai aturan yang ditetapkan untuk permainan ini? Itu mungkin - tapi ambigu. Mari kita lihat - menggambar kotak di sebelah kiri atau kotak di sebelah kanan.

Kita dapat mengatakan bahwa ini bukan dasar dari teka-teki. Kami biasanya berasumsi bahwa teka-teki memiliki satu solusi. Tugas menemukan basis berbeda untuk Sudoku "besar", 9x9, adalah tugas yang sulit dan tidak ada peluang untuk menyelesaikannya sepenuhnya.

Koneksi penting lainnya adalah sistem kontradiktif. Kotak tengah bawah (yang bernomor 2 di pojok kanan bawah) tidak dapat diisi. Mengapa?

Kesenangan dan Retret

Kami bermain terus. Mari gunakan intuisi anak-anak. Mereka percaya bahwa hiburan adalah pengantar belajar. Mari kita pergi ke luar angkasa. diaktifkan ara. 2 semua orang melihat grid tetrahedrondari bola, misalnya, bola pingpong? Ingat pelajaran geometri sekolah. Warna di sisi kiri gambar menjelaskan apa yang direkatkan saat merakit balok. Secara khusus, tiga bola sudut (merah) akan direkatkan menjadi satu. Karena itu, jumlahnya harus sama. Mungkin 9. Mengapa? Dan kenapa tidak?

Oh saya tidak mengucapkannya tugas. Kedengarannya seperti ini: apakah mungkin untuk menuliskan angka dari 0 hingga 9 di kotak yang terlihat sehingga setiap wajah berisi semua angka? Tugasnya tidak sulit, tetapi seberapa banyak yang perlu Anda bayangkan! Saya tidak akan merusak kesenangan pembaca dan tidak akan memberikan solusi.

Ini adalah bentuk yang sangat indah dan diremehkan. segi delapan biasa, dibangun dari dua piramida (=piramida) dengan alas persegi. Seperti namanya, segi delapan memiliki delapan wajah.

Ada enam simpul dalam sebuah oktahedron. Ini bertentangan kubusyang memiliki enam wajah dan delapan simpul. Tepi kedua gumpalan itu sama - masing-masing dua belas. Ini padatan ganda - ini berarti bahwa dengan menghubungkan pusat-pusat muka kubus kita mendapatkan oktahedron, dan pusat-pusat muka oktahedron akan memberi kita sebuah kubus. Kedua tonjolan ini berfungsi ("karena harus") rumus Euler: Jumlah jumlah simpul dan jumlah sisi lebih banyak 2 dari jumlah sisinya.

3. Sebuah oktahedron biasa dalam proyeksi paralel dan kisi oktahedron terdiri dari bola sedemikian rupa sehingga setiap tepi memiliki empat bola.

Pekerjaan 1. Pertama, tuliskan kalimat terakhir dari paragraf sebelumnya menggunakan rumus matematika. pada ara. 3 Anda melihat kisi oktahedral, juga terdiri dari bola. Setiap tepi memiliki empat bola. Setiap wajah adalah segitiga sepuluh bola. Masalahnya diatur secara independen: apakah mungkin untuk menempatkan angka dari 0 hingga 9 di lingkaran kisi sehingga setelah menempelkan benda padat, setiap dinding berisi semua angka (mengikuti itu tanpa pengulangan). Seperti sebelumnya, kesulitan terbesar dalam tugas ini adalah bagaimana mesh diubah menjadi benda padat. Saya tidak bisa menjelaskannya secara tertulis, jadi saya juga tidak memberikan solusi di sini.

4. Dua ikosahedron dari bola pingpong. Perhatikan skema warna yang berbeda.

sudah Plato (dan dia hidup pada abad ke-XNUMX hingga ke-XNUMX SM) mengetahui semua polihedra biasa: tetrahedron, kubus, oktahedron, dodecahedron i icosahedron. Sungguh menakjubkan bagaimana dia sampai di sana - tidak ada pensil, tidak ada kertas, tidak ada pena, tidak ada buku, tidak ada smartphone, tidak ada internet! Saya tidak akan berbicara tentang dodecahedron di sini. Tapi sudoku icosahedral menarik. Kami melihat benjolan ini ilustrasi 4dan jaringannya gambar 5.

5. Jala biasa dari icosahedron.

Seperti sebelumnya, ini bukan kisi-kisi dalam arti yang kita ingat (?!) dari sekolah, tetapi cara merekatkan segitiga dari bola (bola).

Pekerjaan 2. Berapa banyak bola yang dibutuhkan untuk membuat ikosahedron seperti itu? Apakah alasan berikut ini masih berlaku: karena setiap wajah adalah segitiga, jika ada 20 wajah, maka diperlukan sebanyak 60 bola?

6. Kisi ikosahedron dari bola. Setiap lingkaran, misalnya, adalah bola pingpong, tetapi konstruksi lingkaran pada lingkaran yang ditandai dengan warna yang sama melebur menjadi satu. Jadi kami memiliki dua belas bola (= dua belas simpul: merah, biru, ungu, biru dan delapan kuning).

Sangat mudah untuk melihat bahwa tiga angka dalam ikosahedron tidak cukup. Lebih tepatnya: tidak mungkin untuk menghitung simpul dengan angka 1, 2, 3 sehingga setiap wajah (segitiga) memiliki tiga angka ini dan tidak ada pengulangan. Apakah mungkin dengan empat angka? Ya itu mungkin! Mari lihat Beras. 6 dan 7.

7. Berikut adalah cara memberi nomor pada bola-bola yang membentuk ikosahedron sehingga setiap wajah mengandung angka selain 1, 2, 3, 4. Manakah dari benda-benda pada gambar. 4 berwarna seperti ini?

Pekerjaan 3. Tiga dari empat angka dapat dipilih dengan empat cara: 123, 124, 134, 234. Temukan lima segitiga seperti itu pada ikosahedron pada gambar. 7 (juga dari ilustrasi 4).

Tugas 4 (membutuhkan imajinasi spasial yang sangat baik). Icosahedron memiliki dua belas simpul, yang berarti dapat direkatkan dari dua belas bola (ara. 7). Perhatikan bahwa ada tiga simpul (=bola) berlabel 1, tiga dengan 2, dan seterusnya. Jadi, bola dengan warna yang sama membentuk segitiga. Apa segitiga ini? Mungkin sama sisi? Lihat lagi ilustrasi 4.

Tugas selanjutnya untuk kakek/nenek dan cucu/cucu. Orang tua akhirnya dapat mencoba tangan mereka juga, tetapi mereka membutuhkan kesabaran dan waktu.

Pekerjaan 5. Beli dua belas (sebaiknya 24) bola pingpong, sekitar empat warna cat, kuas, dan lem yang tepat - Saya tidak merekomendasikan yang cepat seperti Superglue atau Droplet karena terlalu cepat kering dan berbahaya bagi anak-anak. Rekatkan pada ikosahedron. Dandani cucu perempuan Anda dengan kaus yang akan segera dicuci (atau dibuang) setelahnya. Tutupi meja dengan kertas timah (sebaiknya dengan koran). Warnai ikosahedron dengan hati-hati dengan empat warna 1, 2, 3, 4, seperti yang ditunjukkan pada gambar. ara. 7. Anda dapat mengubah urutannya - warnai balon terlebih dahulu, lalu rekatkan. Pada saat yang sama, lingkaran kecil harus dibiarkan tidak dicat agar cat tidak menempel pada cat.

Sekarang tugas yang paling sulit (lebih tepatnya, seluruh urutan mereka).

Tugas 6 (Lebih khusus, tema umum). Plot ikosahedron sebagai tetrahedron dan oktahedron pada Beras. 2 dan 3 Ini berarti harus ada empat bola di setiap sisi. Dalam varian ini, tugasnya memakan waktu dan bahkan mahal. Mari kita mulai dengan mencari tahu berapa banyak bola yang Anda butuhkan. Setiap wajah memiliki sepuluh bola, jadi ikosahedron membutuhkan dua ratus? TIDAK! Kita harus ingat bahwa banyak bola yang dibagikan. Berapa banyak tepi yang dimiliki ikosahedron? Itu bisa dihitung dengan susah payah, tapi untuk apa rumus Euler?

w–k+s=2

di mana w, k, s masing-masing adalah jumlah simpul, tepi, dan wajah. Kita ingat bahwa w = 12, s = 20, yang berarti k = 30. Kita memiliki 30 rusuk ikosahedron. Anda dapat melakukannya secara berbeda, karena jika ada 20 segitiga, maka mereka hanya memiliki 60 sisi, tetapi dua di antaranya sama.

Mari kita hitung berapa banyak bola yang Anda butuhkan. Di setiap segitiga hanya ada satu bola internal - baik di bagian atas tubuh kita, maupun di tepi. Jadi, kami memiliki total 20 bola seperti itu. Ada 12 puncak. Setiap tepi memiliki dua bola non-simpul (mereka berada di dalam tepi, tetapi tidak di dalam wajah). Karena ada 30 rusuk, maka ada 60 kelereng, tetapi dua di antaranya dibagi bersama, yang berarti Anda hanya membutuhkan 30 kelereng, jadi totalnya adalah 20 + 12 + 30 = 62 kelereng. Bola dapat dibeli setidaknya dengan 50 sen (biasanya lebih mahal). Kalau tambah biaya lem, keluarnya... banyak. Ikatan yang baik membutuhkan beberapa jam kerja yang melelahkan. Bersama-sama mereka cocok untuk hiburan santai - saya merekomendasikan mereka daripada, misalnya, menonton TV.

Mundur 1. Dalam film seri Andrzej Wajda Years, Days, dua pria bermain catur "karena entah bagaimana mereka harus melewatkan waktu sampai makan malam." Itu terjadi di Galicia Krakow. Memang: koran sudah dibaca (kemudian ada 4 halaman), TV dan telepon belum ditemukan, tidak ada pertandingan sepak bola. Kebosanan di genangan air. Dalam situasi seperti itu, orang-orang datang dengan hiburan untuk diri mereka sendiri. Hari ini kami memilikinya setelah menekan remote control ...

Mundur 2. Pada pertemuan Asosiasi Guru Matematika 2019, seorang profesor Spanyol mendemonstrasikan program komputer yang dapat mengecat dinding padat dengan warna apa pun. Itu sedikit menyeramkan, karena mereka hanya menggambar tangan, hampir memotong tubuh. Saya berpikir: seberapa banyak kesenangan yang bisa Anda dapatkan dari "bayangan" seperti itu? Semuanya membutuhkan waktu dua menit, dan pada menit keempat kita tidak ingat apa-apa. Sementara itu, "menjahit" kuno menenangkan dan mendidik. Siapa yang tidak percaya, biarkan dia mencoba.

Mari kita kembali ke abad XNUMX dan realitas kita. Jika kita tidak ingin relaksasi dalam bentuk menempelkan bola yang memakan waktu, maka kita akan menggambar setidaknya kisi-kisi ikosahedron, yang ujung-ujungnya memiliki empat bola. Bagaimana cara melakukannya? Potong dengan benar gambar 6. Pembaca yang penuh perhatian sudah menebak masalahnya:

Pekerjaan 7. Apakah mungkin untuk menghitung bola dengan angka dari 0 hingga 9 sehingga semua angka ini muncul di setiap sisi ikosahedron seperti itu?

Untuk apa kita dibayar?

Hari ini kita sering bertanya pada diri sendiri pertanyaan tentang tujuan kegiatan kita, dan "pembayar pajak abu-abu" akan bertanya mengapa dia harus membayar ahli matematika untuk memecahkan teka-teki seperti itu?

Jawabannya cukup sederhana. "Teka-teki" semacam itu, yang menarik dalam dirinya sendiri, adalah "bagian dari sesuatu yang lebih serius." Bagaimanapun, parade militer hanyalah bagian luar yang spektakuler dari layanan yang sulit. Saya akan memberikan satu contoh saja, tetapi saya akan mulai dengan subjek matematika yang aneh tetapi diakui secara internasional. Pada tahun 1852, seorang mahasiswa Inggris bertanya kepada profesornya apakah mungkin mewarnai peta dengan empat warna sehingga negara-negara tetangga selalu ditampilkan dalam warna yang berbeda? Izinkan saya menambahkan bahwa kami tidak menganggap "tetangga" mereka yang bertemu hanya pada satu titik, seperti negara bagian Wyoming dan Utah di AS. Profesor tidak tahu... dan masalahnya telah menunggu solusi selama lebih dari seratus tahun.

8. Icosahedron dari blok RECO. Reflektor lampu kilat menunjukkan kesamaan ikosahedron dengan segitiga dan segi lima. Lima segitiga berkumpul di setiap titik sudut.

Itu terjadi dengan cara yang tidak terduga. Pada tahun 1976, sekelompok matematikawan Amerika menulis sebuah program untuk memecahkan masalah ini (dan mereka memutuskan: ya, empat warna akan selalu cukup). Ini adalah bukti pertama dari fakta matematika yang diperoleh dengan bantuan "mesin matematika" - sebagaimana komputer disebut setengah abad yang lalu (dan bahkan lebih awal: "otak elektronik").

Ini adalah "peta Eropa" yang ditampilkan secara khusus (ara. 9). Negara-negara yang memiliki perbatasan yang sama terhubung. Mewarnai peta sama dengan mewarnai lingkaran pada graf ini (disebut graf) sehingga tidak ada lingkaran terhubung yang berwarna sama. Melihat Liechtenstein, Belgia, Prancis dan Jerman menunjukkan bahwa tiga warna tidak cukup. Jika Anda mau, Pembaca, warnai dengan empat warna.

9. Siapa yang berbatasan dengan siapa di Eropa?

Ya, tapi apakah itu sepadan dengan uang pembayar pajak? Jadi mari kita lihat grafik yang sama sedikit berbeda. Lupakan bahwa ada negara bagian dan perbatasan. Biarkan lingkaran melambangkan paket informasi yang akan dikirim dari satu titik ke titik lain (misalnya, dari P ke EST), dan segmen mewakili kemungkinan koneksi, yang masing-masing memiliki bandwidth sendiri. Kirim secepatnya?

Pertama, mari kita lihat situasi yang sangat disederhanakan, tetapi juga sangat menarik dari sudut pandang matematika. Kita harus mengirim sesuatu dari titik S (= sebagai awal) ke titik M (= selesai) menggunakan jaringan koneksi dengan bandwidth yang sama, katakanlah 1. Kita melihat ini di ara. 10.

10. Jaringan koneksi dari Statsyika Zdrój ke Megapolis.

Mari kita bayangkan bahwa sekitar 89 bit informasi perlu dikirim dari S ke M. Penulis kata-kata ini menyukai masalah tentang kereta api, jadi dia membayangkan bahwa dia adalah seorang manajer di Stacie Zdrój, dari mana dia harus mengirim 144 gerbong. ke stasiun metropolis. Mengapa tepatnya 144? Karena, seperti yang akan kita lihat, ini akan digunakan untuk menghitung throughput seluruh jaringan. Kapasitasnya adalah 1 di setiap lot, mis. satu mobil dapat lewat per unit waktu (satu bit informasi, mungkin juga Gigabyte).

Mari kita pastikan bahwa semua mobil bertemu pada waktu yang sama di M. Semua orang sampai di sana dalam 89 unit waktu. Jika saya memiliki paket informasi yang sangat penting dari S ke M untuk dikirim, saya memecahnya menjadi kelompok 144 unit dan mendorongnya seperti di atas. Matematika menjamin bahwa ini akan menjadi yang tercepat. Bagaimana saya tahu bahwa Anda membutuhkan 89? Saya sebenarnya menebak, tetapi jika saya tidak menebak, saya harus mencari tahu persamaan Kirchhoff (apakah ada yang ingat? - ini adalah persamaan yang menggambarkan aliran arus). Bandwidth jaringan adalah 184/89, yang kira-kira sama dengan 1,62.

Tentang kebahagiaan

Ngomong-ngomong, saya suka nomor 144. Saya suka naik bus dengan nomor ini ke Castle Square di Warsawa - ketika tidak ada Royal Castle yang dipugar di sebelahnya. Mungkin pembaca muda tahu apa itu selusin. Itu 12 eksemplar, tetapi hanya pembaca yang lebih tua ingat bahwa selusin lusin, yaitu. 122=144, inilah yang disebut lot. Dan setiap orang yang mengetahui matematika sedikit lebih banyak daripada kurikulum sekolah akan segera memahaminya ara. 10 kami memiliki angka Fibonacci dan bandwidth jaringan mendekati "angka emas"

Dalam deret Fibonacci, 144 adalah satu-satunya bilangan yang merupakan kuadrat sempurna. Seratus empat puluh empat juga merupakan "angka yang menggembirakan". Begitulah cara seorang matematikawan amatir India Dattatreya Ramachandra Caprecar pada tahun 1955, ia menyebutkan bilangan yang habis dibagi jumlah digit penyusunnya:

Jika dia mengetahuinya Adam Mickiewicz, dia pasti akan menulis tidak dalam Dzyady: “Dari ibu yang aneh; darahnya adalah pahlawan lamanya / Dan namanya empat puluh empat, hanya lebih anggun: Dan namanya seratus empat puluh empat.

Ambil hiburan dengan serius

Saya harap saya telah meyakinkan pembaca bahwa teka-teki Sudoku adalah sisi menyenangkan dari pertanyaan yang tentu saja layak untuk ditanggapi dengan serius. Saya tidak dapat mengembangkan topik ini lebih jauh. Oh, perhitungan bandwidth jaringan penuh dari diagram yang disediakan di ara. 9 menulis sistem persamaan akan memakan waktu dua jam atau lebih - bahkan mungkin puluhan detik (!) kerja komputer.