Kotak berwarna dan gerhana matahari
Artikel tersebut menjelaskan kelas saya untuk siswa sekolah menengah - pemegang beasiswa Dana Anak Nasional. Yayasan mencari anak-anak dan remaja yang sangat berbakat (dari kelas XNUMX sekolah dasar hingga sekolah menengah atas) dan menawarkan "beasiswa" kepada siswa terpilih. Namun, mereka sama sekali tidak terdiri dari penarikan uang tunai, tetapi perawatan komprehensif untuk pengembangan bakat, sebagai aturan, selama bertahun-tahun. Tidak seperti banyak proyek lain jenis ini, ilmuwan terkenal, tokoh budaya, humanis terkemuka dan orang bijak lainnya, serta beberapa politisi, menganggap serius bangsal Yayasan.
Kegiatan Yayasan meluas ke semua disiplin ilmu yang menjadi mata pelajaran sekolah dasar, kecuali olahraga, termasuk seni. Dana tersebut dibuat pada tahun 1983 sebagai penangkal kenyataan saat itu. Siapa pun dapat mengajukan permohonan dana (biasanya melalui sekolah, sebaiknya sebelum akhir tahun ajaran), tetapi, tentu saja, ada saringan tertentu, prosedur kualifikasi tertentu.
Seperti yang sudah saya sebutkan, artikel ini berdasarkan kelas master saya, tepatnya di Gdynia, pada bulan Maret 2016, di SMP ke-24 di SMA III. Angkatan laut. Selama bertahun-tahun, seminar-seminar ini telah diselenggarakan di bawah naungan Yayasan oleh Wojciech Thomalczyk, seorang guru dengan kharisma yang luar biasa dan tingkat intelektual yang tinggi. Pada tahun 2008, ia masuk sepuluh besar di Polandia, yang dianugerahi gelar Profesor Pedagogi (disediakan oleh undang-undang bertahun-tahun yang lalu). Ada sedikit berlebihan dalam pernyataan: “Pendidikan adalah poros dunia”.
dan bulan selalu mempesona - maka Anda dapat merasakan bahwa kita hidup di planet kecil di ruang yang sangat besar, tempat segala sesuatu bergerak, diukur dalam sentimeter dan detik. Bahkan membuatku sedikit takut, juga perspektif waktu. Kami mengetahui bahwa gerhana total berikutnya, yang terlihat dari wilayah Warsawa hari ini, akan terjadi pada ... 2681. Aku ingin tahu siapa yang akan melihatnya? Ukuran Matahari dan Bulan yang terlihat di langit kita hampir sama - itulah mengapa gerhana sangat singkat dan spektakuler. Selama berabad-abad, menit-menit singkat itu seharusnya cukup bagi para astronom untuk melihat korona matahari. Aneh bahwa mereka terjadi dua kali setahun... tetapi itu hanya berarti bahwa di suatu tempat di Bumi mereka dapat dilihat dalam waktu singkat. Akibat pergerakan pasang surut, Bulan menjauh dari Bumi - dalam 260 juta tahun akan sangat jauh sehingga kita (kita ???) hanya akan melihat gerhana annular.
Rupanya yang pertama memprediksi gerhana, adalah Thales dari Miletus (abad 28-585 SM). Kita mungkin tidak akan tahu apakah itu benar-benar terjadi, yaitu, apakah dia meramalkannya, karena fakta bahwa gerhana di Asia Kecil terjadi pada Mei 567, 566 SM adalah fakta yang dikonfirmasi oleh perhitungan modern. Tentu saja, saya mengutip data untuk perhitungan waktu hari ini. Ketika saya masih kecil, saya membayangkan bagaimana orang menghitung tahun. Jadi ini, misalnya, XNUMX SM, Malam Tahun Baru akan datang dan orang-orang bersukacita: hanya XNUMX tahun SM! Betapa bahagianya mereka ketika ”zaman kita” akhirnya tiba! Sungguh pergantian ribuan tahun yang kita alami beberapa tahun yang lalu!
Matematika Menghitung Tanggal dan Rentang gerhana, tidak terlalu rumit, tetapi penuh dengan segala macam faktor yang terkait dengan keteraturan dan, lebih buruk lagi, dengan gerakan tubuh yang tidak merata dalam orbit. Saya bahkan ingin tahu matematika ini. Bagaimana Thales dari Miletus bisa membuat perhitungan yang diperlukan? Jawabannya sederhana. Anda harus memiliki peta langit. Bagaimana cara membuat peta seperti itu? Ini juga tidak sulit, orang Mesir kuno tahu bagaimana melakukannya. Pada tengah malam, dua pendeta keluar ke atap kuil. Masing-masing dari mereka duduk dan menggambar apa yang dilihatnya (seperti rekannya). Setelah dua ribu tahun, kita tahu segalanya tentang pergerakan planet-planet ...
Geometri yang indah, atau kesenangan di "permadani"
Orang Yunani tidak menyukai angka, mereka menggunakan geometri. Inilah yang akan kami lakukan. Kita gerhana mereka akan sederhana, penuh warna, tetapi sama menarik dan nyatanya. Kami menerima konvensi bahwa sosok biru bergerak sedemikian rupa sehingga melampaui yang merah. Sebut saja sosok biru sebagai bulan, dan sosok merah sebagai matahari. Kami bertanya pada diri sendiri pertanyaan-pertanyaan berikut:
- berapa lama gerhana berlangsung;
- ketika setengah dari target tercakup;
Beras. 1 "karpet" multi-warna dengan matahari dan bulan
- apa cakupan maksimum;
- apakah mungkin untuk menganalisis ketergantungan cakupan perisai tepat waktu? Dalam artikel ini (saya dibatasi oleh jumlah teks) saya akan fokus pada pertanyaan kedua. Di balik ini adalah geometri yang bagus, mungkin tanpa perhitungan yang membosankan. Mari kita lihat gambar. 1. Bisakah diasumsikan bahwa itu akan dikaitkan dengan ... gerhana matahari?
Saya harus jujur mengatakan bahwa tugas-tugas yang akan saya bahas akan dipilih secara khusus, disesuaikan dengan pengetahuan dan keterampilan siswa SMP dan SMA. Tetapi kami melatih tugas-tugas seperti musisi memainkan tangga nada, dan atlet melakukan latihan perkembangan umum. Selain itu, bukankah itu hanya permadani yang indah (gbr. 1)?
Beras. 2 Bulan "Biru" dan Matahari "Merah"
Benda langit kita, setidaknya pada awalnya, akan berwarna kotak. Bulan berwarna biru, matahari berwarna merah (paling baik untuk mewarnai). dengan saat ini gerhana Bulan mengejar matahari melintasi langit, mengejar ... dan menutupnya. Itu akan sama dengan kita. Kasus paling sederhana, ketika Bulan bergerak relatif terhadap Matahari, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 2. Gerhana dimulai ketika tepi piringan Bulan menyentuh tepi piringan Matahari (Gbr. 2) dan berakhir saat melampauinya.
Beras. 3 Bulan mendekati matahari secara diagonal
Kami berasumsi bahwa "Bulan" bergerak satu sel per satuan waktu, misalnya, per menit. Gerhana kemudian berlangsung delapan unit waktu, katakanlah menit. Setengah gerhana matahari benar-benar redup Setengah dari dial ditutup dua kali: setelah 2 dan 6 menit. Grafik persentase pengaburan sederhana. Selama dua menit pertama, perisai menutup secara merata dengan kecepatan nol hingga 1, dua menit berikutnya terbuka dengan kecepatan yang sama.
Berikut adalah contoh yang lebih menarik (Gbr. 3). Bulan mendekati matahari secara diagonal. Menurut perjanjian pembayaran per menit kami, gerhana berlangsung 8√2 menit - di tengah waktu ini kita mengalami gerhana total. Mari kita hitung bagian mana dari matahari yang tertutup setelah waktu t (Gbr. 3). Jika t menit telah berlalu sejak awal gerhana, dan hasilnya Bulan seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 5, maka (perhatian!) Oleh karena itu, ditutupi (luas persegi APQR), sama dengan setengah piringan matahari; oleh karena itu, ditutupi ketika, yaitu. setelah 4 menit (kemudian 4 menit sebelum akhir gerhana).
Beras. 4 Grafik fungsi "bayangan"
Keseluruhan berlangsung satu saat (t = 4√2), dan grafik fungsi "bagian yang diarsir" terdiri dari dua busur parabola (Gbr. 4).
Bulan biru kita akan menyentuh sudut dengan matahari merah, tetapi akan menutupinya, tidak secara diagonal, tetapi sedikit diagonal.Geometri yang menarik muncul ketika kita sedikit memperumit gerakan (Gbr. 6). Arah gerakan sekarang vektor [4,3], yaitu, "empat sel ke kanan, tiga sel ke atas." Posisi Matahari sedemikian rupa sehingga gerhana dimulai (posisi A) ketika sisi-sisi "benda angkasa" bertemu hingga seperempat panjangnya. Ketika Bulan bergerak ke posisi B, akan terjadi gerhana seperenam dari Matahari, dan di posisi C akan terjadi gerhana setengah. Di posisi D, kita mengalami gerhana total, dan kemudian semuanya kembali, "seperti semula."
Beras. 5 Bagian Matahari yang tersembunyi selama waktu t
Gerhana berakhir ketika Bulan berada di posisi G. Itu berlangsung selama panjang bagian AG. Jika, seperti sebelumnya, kita mengambil sebagai satuan waktu waktu di mana Bulan melewati "satu bujur sangkar", maka panjang AG adalah sama. Jika kita kembali ke konvensi lama bahwa benda langit kita adalah 4 kali 4, hasilnya akan berbeda (apa?). Karena mudah untuk ditampilkan, target ditutup setelah t < 15. Grafik fungsi "persentase cakupan layar" dapat dilihat pada gambar. 6.
Beras. 6 Grafik fungsi "perlindungan persen"
Persamaan gerhana dan lompat
Beras. 7 Obstruksi piringan matahari selama gerhana ditunjukkan pada gambar. 6
Masalah gerhana tidak akan lengkap jika kita tidak mempertimbangkan kasus lingkaran. Ini jauh lebih rumit, tetapi mari kita coba mencari tahu kapan satu lingkaran menutupi setengah lingkaran lainnya - dan dalam kasus paling sederhana, ketika salah satu dari mereka bergerak sepanjang diameter yang menghubungkan keduanya. Gambar tersebut sudah tidak asing lagi bagi para pemegang beberapa kartu kredit.
Menghitung posisi medan itu rumit, karena itu membutuhkan, pertama, pengetahuan tentang rumus luas segmen lingkaran, kedua, pengetahuan tentang busur sudut, dan ketiga (dan yang terburuk), kemampuan untuk menyelesaikan persamaan lompat tertentu. Saya tidak akan menjelaskan apa itu "persamaan transitif", mari kita lihat contohnya (Gbr. 8).
Beras. 8 gerhana "Bola"
Bagian melingkar adalah "mangkuk" yang tersisa setelah memotong lingkaran dengan garis lurus. Luas segmen tersebut adalah S = 1/2r2(φ-sinφ), di mana r adalah jari-jari lingkaran, dan adalah sudut pusat tempat segmen berada (Gbr. 8). Ini mudah diperoleh dengan mengurangkan luas segitiga dari luas sektor melingkar.
Episode O1O2 (jarak antara pusat lingkaran) kemudian sama dengan 2rcosφ/2, dan tinggi (lebar, “pinggang”) h = 2rsinφ/2. Jadi, jika kita ingin menghitung kapan Bulan akan menutupi setengah dari piringan matahari, kita perlu menyelesaikan persamaan: yang setelah disederhanakan menjadi:
Beras. 9 Grafik dua fungsi
Solusi dari persamaan tersebut melampaui aljabar sederhana - persamaan tersebut mengandung kedua sudut dan fungsi trigonometrinya. Persamaannya berada di luar jangkauan metode tradisional. Makanya disebut untuk melompat. Mari kita lihat grafik dari kedua fungsi, yaitu fungsi dan fungsi, kita dapat membaca solusi perkiraan dari gambar ini. Namun, kita bisa mendapatkan perkiraan berulang atau... gunakan opsi Solver di spreadsheet Excel. Setiap siswa sekolah menengah harus dapat melakukan ini, karena ini adalah abad ke-20. Saya menggunakan alat Mathematica yang lebih canggih dan inilah solusi kami dengan tempat desimal XNUMX dengan presisi yang tidak perlu:
SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.
Beras. 10 Animasi gerhana di matematica
Kami mengubahnya menjadi derajat dengan mengalikannya dengan 180/π. Kami mendapatkan 132 derajat, 20 menit, 45 dan seperempat detik busur. Kami menghitung bahwa jarak ke pusat lingkaran adalah O1O2 = radius 0,808, dan "pinggang" 2,310.
