pesona terbalik

Ada banyak pembicaraan tentang "pesona yang berlawanan", dan tidak hanya dalam matematika. Ingatlah bahwa bilangan yang berlawanan adalah bilangan yang hanya berbeda tandanya saja: ditambah 7 dan dikurangi 7. Jumlah bilangan yang berlawanan adalah nol. Tetapi bagi kami (yaitu ahli matematika) timbal balik lebih menarik. Jika hasil kali bilangan sama dengan 1, maka bilangan-bilangan tersebut saling invers. Setiap angka memiliki kebalikannya, setiap angka bukan nol memiliki kebalikannya. Kebalikan dari timbal balik adalah benih.

Pembalikan terjadi di mana pun dua kuantitas terkait satu sama lain sehingga jika satu meningkat, yang lain berkurang pada tingkat yang sesuai. "Relevan" berarti bahwa produk dari jumlah ini tidak berubah. Kami ingat dari sekolah: ini adalah proporsi terbalik. Jika saya ingin mencapai tujuan saya dua kali lebih cepat (yaitu memotong waktu menjadi dua), saya perlu menggandakan kecepatan saya. Jika volume bejana tertutup berisi gas berkurang n kali, maka tekanannya akan bertambah n kali.

Dalam pendidikan dasar, kami dengan hati-hati membedakan antara perbandingan diferensial dan relatif. "Berapa banyak lagi"? – “Berapa kali lagi?”

Berikut beberapa kegiatan sekolah:

Pekerjaan 1. Dari dua nilai positif, yang pertama 5 kali lebih besar dari yang kedua dan pada saat yang sama 5 kali lebih besar dari yang pertama. Apa dimensinya?

Pekerjaan 2. Jika satu bilangan lebih besar 3 dari bilangan kedua, dan bilangan kedua 2 lebih besar dari bilangan ketiga, berapakah bilangan pertama lebih besar dari bilangan ketiga? Jika bilangan positif pertama adalah dua kali bilangan kedua, dan bilangan pertama adalah tiga kali bilangan ketiga, berapa kali bilangan pertama lebih besar dari bilangan ketiga?

Pekerjaan 3. Dalam tugas 2, hanya bilangan asli yang diperbolehkan. Apakah pengaturan seperti yang dijelaskan di sana mungkin?

Pekerjaan 4. Dari dua nilai positif, yang pertama adalah 5 kali yang kedua, dan yang kedua adalah 5 kali yang pertama. Apa itu mungkin?

Konsep "rata-rata" atau "rata-rata" tampaknya sangat sederhana. Jika saya bersepeda 55 km pada hari Senin, 45 km pada hari Selasa, dan 80 km pada hari Rabu, rata-rata saya bersepeda 60 km per hari. Kami sepenuh hati setuju dengan perhitungan ini, meski sedikit aneh karena saya belum pernah berkendara sejauh 60 km dalam sehari. Kami dengan mudah menerima bagian seseorang: jika dua ratus orang mengunjungi restoran dalam waktu enam hari, maka tarif harian rata-rata adalah 33 dan sepertiga orang. Hm!

Ada masalah hanya dengan ukuran rata-rata. Aku suka bersepeda. Jadi saya memanfaatkan tawaran agen perjalanan "Ayo pergi bersama kami" - mereka mengantarkan barang bawaan ke hotel, tempat klien mengendarai sepeda untuk tujuan rekreasi. Pada hari Jumat saya berkendara selama empat jam: dua yang pertama dengan kecepatan 24 km per jam. Kemudian saya menjadi sangat lelah sehingga untuk dua berikutnya dengan kecepatan hanya 16 per jam. Berapa kecepatan rata-rata saya? Tentu saja (24+16)/2=20km=20km/jam.

Namun, pada hari Sabtu, barang bawaan ditinggalkan di hotel, dan saya pergi untuk melihat reruntuhan kastil, yang berjarak 24 km, dan setelah melihatnya, saya kembali. Saya mengemudi satu jam dalam satu arah, kembali lebih lambat, dengan kecepatan 16 km per jam. Berapa kecepatan rata-rata saya pada rute hotel-kastil-hotel? 20 km per jam? Tentu saja tidak. Lagi pula, saya mengendarai total 48 km dan saya butuh satu jam ("di sana") dan satu setengah jam kembali. 48 km dalam dua setengah jam, mis. jam 48/2,5=192/10=19,2 km! Dalam situasi ini, kecepatan rata-rata bukanlah rata-rata aritmatika, tetapi harmonik dari nilai-nilai yang diberikan:

dan rumus dua tingkat ini dapat dibaca sebagai berikut: rata-rata harmonik bilangan positif adalah kebalikan dari rata-rata aritmatika dari kebalikannya. Kebalikan dari jumlah timbal balik muncul dalam banyak paduan suara tugas sekolah: jika satu pekerja menggali jam, yang lain - b jam, kemudian, bekerja bersama, mereka menggali tepat waktu. kolam air (satu per jam, yang lain pada b jam). Jika satu resistor memiliki R1 dan yang lainnya memiliki R2, maka mereka memiliki hambatan paralel. 

Jika satu komputer dapat menyelesaikan masalah dalam hitungan detik, komputer lain dalam b detik, maka ketika mereka bekerja sama...

Berhenti! Di sinilah analogi berakhir, karena semuanya tergantung pada kecepatan jaringan: efisiensi koneksi. Pekerja juga dapat saling menghalangi atau membantu. Jika satu orang dapat menggali sumur dalam delapan jam, dapatkah delapan puluh pekerja melakukannya dalam 1/10 jam (atau 6 menit)? Jika enam kuli membawa piano ke lantai pertama dalam 6 menit, berapa lama waktu yang dibutuhkan salah satu dari mereka untuk mengantarkan piano ke lantai enam puluh? Absurditas dari masalah-masalah seperti itu mengingatkan kita akan keterbatasan penerapan semua matematika pada masalah-masalah "dari kehidupan".

Tentang penjual yang kuat 

Timbangan sudah tidak digunakan lagi. Ingatlah bahwa timbangan ditempatkan pada satu mangkuk timbangan tersebut, dan barang yang ditimbang ditempatkan di mangkuk lainnya, dan ketika beratnya seimbang, maka barang tersebut ditimbang sebanyak beratnya. Tentu saja, kedua lengan beban harus memiliki panjang yang sama, jika tidak, penimbangannya akan salah.

Oh benar. Bayangkan seorang wiraniaga yang memiliki bobot dengan leverage yang tidak seimbang. Namun, dia ingin jujur ​​dengan pelanggan dan menimbang barang dalam dua kelompok. Pertama, dia meletakkan beban di satu panci, dan di sisi lain sejumlah barang yang sesuai - sehingga timbangannya seimbang. Kemudian dia menimbang "setengah" kedua barang dalam urutan terbalik, yaitu, dia meletakkan beratnya di mangkuk kedua, dan barang-barang di mangkuk pertama. Karena tangan tidak sama, "bagian" tidak pernah sama. Dan hati nurani penjual jelas, dan pembeli memuji kejujurannya: "Apa yang saya hapus di sini, saya kemudian menambahkan."

Namun, mari kita lihat lebih dekat perilaku seorang penjual yang ingin jujur ​​meski beratnya genting. Biarkan lengan keseimbangan memiliki panjang a dan b. Jika salah satu mangkuk diisi dengan berat satu kilogram dan yang lainnya dengan barang x, maka timbangan berada dalam kesetimbangan jika ax = b pertama kali dan bx = a kedua kalinya. Jadi barang bagian pertama sama dengan b / satu kilogram, bagian kedua adalah a / b. Berat barang bagus ada a = b, jadi pembeli akan menerima 2 kg barang. Mari kita lihat apa yang terjadi jika a ≠ b. Maka a – b ≠ 0 dan dari rumus perkalian tereduksi yang kita miliki

Kami sampai pada hasil yang tidak terduga: metode "rata-rata" pengukuran yang tampaknya adil dalam hal ini bermanfaat bagi pembeli, yang menerima lebih banyak barang.

Tugas 5. (Penting, tidak berarti dalam matematika!). Seekor nyamuk memiliki berat 2,5 miligram, dan seekor gajah memiliki berat lima ton (ini adalah data yang cukup benar). Hitung rata-rata aritmatika, rata-rata geometrik, dan rata-rata harmonik dari massa (bobot) nyamuk dan gajah. Periksa perhitungan dan lihat apakah itu masuk akal selain latihan aritmatika. Mari kita lihat contoh perhitungan matematis lain yang tidak masuk akal di "kehidupan nyata". Tip: Kami telah melihat satu contoh di artikel ini. Apakah ini berarti bahwa seorang siswa anonim yang pendapatnya saya temukan di Internet benar: "Matematika membodohi orang dengan angka"?

Ya, saya setuju bahwa dalam keagungan matematika, Anda bisa "membodohi" orang - setiap detik iklan sampo mengatakan bahwa itu meningkatkan kelembutan beberapa persen. Haruskah kita mencari contoh lain dari alat sehari-hari yang berguna yang dapat digunakan untuk kegiatan kriminal?

Gram!

Judul bagian ini adalah kata kerja (orang pertama jamak) bukan kata benda (jamak nominatif dari seperseribu kilogram). Harmoni menyiratkan keteraturan dan musik. Bagi orang Yunani kuno, musik adalah cabang ilmu pengetahuan - harus diakui bahwa jika kita mengatakan demikian, kita mentransfer arti kata "sains" saat ini ke masa sebelum zaman kita. Pythagoras hidup pada abad XNUMX SM. Dia tidak hanya tidak tahu komputer, telepon seluler, dan email, tetapi dia juga tidak tahu siapa Robert Lewandowski, Mieszko I, Charlemagne, dan Cicero. Dia tidak tahu angka Arab atau bahkan Romawi (mereka mulai digunakan sekitar abad ke-XNUMX SM), dia tidak tahu apa Perang Punisia itu ... Tapi dia tahu musik ...

Dia tahu bahwa pada alat musik gesek, koefisien getaran berbanding terbalik dengan panjang bagian yang bergetar dari dawai. Dia tahu, dia tahu, dia tidak bisa mengungkapkannya seperti yang kita lakukan hari ini.

Frekuensi dari dua getaran senar yang membentuk satu oktaf memiliki perbandingan 1:2, yaitu frekuensi nada yang lebih tinggi dua kali frekuensi nada yang lebih rendah. Rasio getaran yang benar untuk kelima adalah 2:3, keempat adalah 3:4, sepertiga mayor murni adalah 4:5, sepertiga minor adalah 5:6. Ini adalah interval konsonan yang menyenangkan. Lalu ada dua yang netral, dengan rasio getaran 6:7 dan 7:8, lalu disonan - nada besar (8:9), nada kecil (9:10). Pecahan (rasio) ini seperti rasio anggota berurutan dari urutan yang oleh matematikawan (karena alasan ini) disebut deret harmonik:

adalah jumlah yang secara teoritis tak terbatas. Rasio osilasi oktaf dapat ditulis sebagai 2:4 dan menempatkan seperlima di antaranya: 2:3:4, yaitu, kita akan membagi oktaf menjadi seperlima dan keempat. Ini disebut pembagian segmen harmonik dalam matematika:

Beras. 1. Untuk musisi: membagi oktaf AB menjadi AC kelima.Untuk Matematikawan: Segmentasi Harmonik

Apa yang saya maksud ketika saya berbicara (di atas) tentang jumlah yang secara teoritis tak terbatas, seperti deret harmonik? Ternyata jumlah seperti itu bisa berapa saja, yang utama adalah kami menambahkan untuk waktu yang lama. Bahan-bahannya semakin sedikit, tetapi jumlahnya semakin banyak. Apa yang berlaku? Di sini kita memasuki ranah analisis matematis. Ternyata bahan-bahannya habis, tetapi tidak terlalu cepat. Saya akan menunjukkan bahwa dengan mengambil bahan yang cukup, saya dapat menyimpulkan:

besar secara sewenang-wenang. Mari kita ambil "misalnya" n = 1024. Mari kita kelompokkan kata-kata seperti yang ditunjukkan pada gambar:

Dalam setiap kurung, setiap kata lebih besar dari yang sebelumnya, kecuali, tentu saja, yang terakhir, yang sama dengan dirinya sendiri. Dalam kurung berikut, kami memiliki 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 dan 512 komponen; nilai jumlah dalam setiap kurung lebih besar dari . Semua ini lebih dari 5½. Perhitungan yang lebih akurat akan menunjukkan bahwa jumlah ini kira-kira 7,50918. Tidak banyak, tetapi selalu, dan Anda dapat melihat bahwa dengan mengambil n besar, saya dapat mengungguli nomor berapa pun. Yang ini sangat lambat (misalnya, kami sepuluh besar dengan bahan saja), tetapi pertumbuhan tak terbatas selalu membuat ahli matematika terpesona.

Perjalanan menuju tak terbatas dengan seri harmonik

Inilah teka-teki untuk beberapa matematika yang cukup serius. Kami memiliki persediaan balok persegi panjang yang tidak terbatas (apa yang bisa saya katakan, persegi panjang!) dengan dimensi, katakanlah, 4 × 2 × 1. Pertimbangkan sebuah sistem yang terdiri dari beberapa (pada ara. 2 - empat) balok, disusun sedemikian rupa sehingga yang pertama dimiringkan dengan ½ panjangnya, yang kedua dari atas dengan ¼ dan seterusnya, yang ketiga dengan seperenam. Nah, mungkin untuk membuatnya benar-benar stabil, mari kurangi kemiringan bata pertama. Tidak masalah untuk perhitungan.

Beras. 2. Menentukan pusat gravitasi

Juga mudah dipahami bahwa karena gambar yang terdiri dari dua balok pertama (dihitung dari atas) memiliki pusat simetri di titik B, maka B adalah pusat gravitasi. Mari kita definisikan secara geometris pusat gravitasi sistem, yang terdiri dari tiga blok atas. Argumen yang sangat sederhana sudah cukup di sini. Mari kita secara mental membagi komposisi tiga blok menjadi dua yang atas dan yang ketiga lebih rendah. Pusat ini harus terletak pada bagian yang menghubungkan pusat gravitasi kedua bagian. Pada titik apa dalam episode ini?

Ada dua cara untuk menunjuk. Pada bagian pertama, kita akan menggunakan pengamatan bahwa pusat ini harus terletak di tengah piramida tiga balok, yaitu, pada garis lurus yang memotong balok tengah kedua. Dengan cara kedua, kita memahami bahwa karena dua balok teratas memiliki massa total dua kali massa balok tunggal #3 (atas), pusat gravitasi pada bagian ini harus dua kali lebih dekat ke B daripada ke pusat S dari blok ketiga. Demikian pula, kami menemukan titik berikutnya: kami menghubungkan pusat yang ditemukan dari tiga blok dengan pusat S dari blok keempat. Pusat seluruh sistem berada pada ketinggian 2 dan pada titik yang membagi segmen dengan 1 hingga 3 (yaitu, dengan panjangnya).

Perhitungan yang akan kita lakukan sedikit lebih jauh mengarah pada hasil yang ditunjukkan pada Gambar. gambar 3. Pusat gravitasi berturut-turut dihilangkan dari tepi kanan blok bawah dengan:

Dengan demikian, proyeksi pusat gravitasi piramida selalu berada di dalam alasnya. Menara tidak akan roboh. Sekarang mari kita lihat ara. 3 dan sejenak, mari kita gunakan balok kelima dari atas sebagai alas (yang ditandai dengan warna yang lebih cerah). Cenderung atas:

dengan demikian, tepi kirinya adalah 1 lebih jauh dari tepi kanan alas. Inilah ayunan berikutnya:

Apa ayunan terbesar? Kami sudah tahu! Tidak ada yang terhebat! Mengambil bahkan balok terkecil, Anda bisa mendapatkan overhang satu kilometer - sayangnya, hanya secara matematis: seluruh Bumi tidak akan cukup untuk membangun begitu banyak balok!

Beras. 3. Tambahkan lebih banyak blok

Sekarang perhitungan yang kami tinggalkan di atas. Kami akan menghitung semua jarak "secara horizontal" pada sumbu x, karena hanya itu yang ada di sana. Titik A (pusat gravitasi balok pertama) adalah 1/2 dari tepi kanan. Titik B (pusat sistem dua balok) berjarak 1/4 dari tepi kanan balok kedua. Biarkan titik awal menjadi akhir dari blok kedua (sekarang kita akan beralih ke blok ketiga). Misalnya, di mana pusat gravitasi balok tunggal #3? Setengah panjang balok ini, oleh karena itu, 1/2 + 1/4 = 3/4 dari titik acuan kita. Dimana titik C? Dalam dua pertiga dari segmen antara 3/4 dan 1/4, yaitu pada titik sebelumnya, kami mengubah titik referensi ke tepi kanan blok ketiga. Pusat gravitasi sistem tiga blok sekarang dipindahkan dari titik referensi baru, dan seterusnya. Pusat gravitasi C_n sebuah menara yang terdiri dari n balok berjarak 1/2n dari titik referensi sesaat, yang merupakan tepi kanan balok dasar, yaitu balok ke-n dari atas.

Karena deret resiprokal divergen, kita bisa mendapatkan variasi yang besar. Bisakah ini benar-benar diterapkan? Ini seperti menara bata yang tak berujung - cepat atau lambat akan runtuh karena beratnya sendiri. Dalam skema kami, ketidakakuratan minimal dalam penempatan blok (dan peningkatan lambat dalam jumlah parsial seri) berarti kami tidak akan terlalu jauh.