lima kali di mata

Di penghujung tahun 2020, beberapa acara diadakan di universitas dan sekolah, ditunda dari ... Maret. Salah satunya adalah "perayaan" hari pi. Pada kesempatan ini, pada tanggal 8 Desember saya memberikan kuliah jarak jauh di Universitas Silesia, dan artikel ini adalah ringkasan dari kuliah tersebut. Seluruh pesta dimulai pukul 9.42, dan kuliah saya dijadwalkan pukul 10.28. Dari mana akurasi seperti itu berasal? Sederhana saja: 3 kali pi adalah sekitar 9,42, dan pangkat 2 adalah sekitar 9,88, dan jam 9 pangkat 88 adalah 10 pangkat 28 ...

Kebiasaan menghormati nomor ini, menyatakan rasio keliling lingkaran dengan diameternya dan kadang-kadang disebut konstanta Archimedes (juga dalam budaya berbahasa Jerman), berasal dari Amerika Serikat (Lihat juga: ). 3.14 Maret "gaya Amerika" pada 22:22, itulah idenya. Setara Polandia bisa jadi 7 Juli karena pecahan 14/XNUMX mendekati π dengan baik, yang…Archimedes sudah tahu. Nah, XNUMX Maret adalah waktu terbaik untuk acara sampingan.

Tiga dan empat belas ratus ini adalah salah satu dari sedikit pesan matematika yang tetap bersama kita dari sekolah seumur hidup. Semua orang tahu apa artinya itu"lima kali di mata". Hal ini begitu mendarah daging dalam bahasa yang sulit untuk mengungkapkannya secara berbeda dan dengan rahmat yang sama. Ketika saya bertanya di bengkel mobil berapa biaya perbaikannya, montir memikirkannya dan berkata: "lima kali sekitar delapan ratus zlotys." Saya memutuskan untuk mengambil keuntungan dari situasi ini. "Maksudmu perkiraan kasar?". Mekanik itu pasti mengira saya salah dengar, jadi dia mengulangi, "Saya tidak tahu persis berapa banyak, tetapi lima kali satu mata adalah 800."

.

Tentang apa ini? Ejaan sebelum Perang Dunia II menggunakan "tidak" bersama-sama, dan saya meninggalkannya di sana. Di sini kita tidak berurusan dengan puisi muluk-muluk yang tidak perlu, meskipun saya menyukai gagasan bahwa "kapal emas memompa kebahagiaan". Tanyakan kepada siswa: Apa arti pemikiran ini? Tetapi nilai teks ini terletak di tempat lain. Banyaknya huruf pada kata-kata berikut adalah digit dari ekstensi pi. Mari kita lihat:

3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284

Pada tahun 1596, seorang ilmuwan Belanda asal Jerman Ludolf van Seulen menghitung nilai pi hingga 35 tempat desimal. Kemudian angka-angka ini diukir di kuburannya. Dia mendedikasikan sebuah puisi untuk nomor pi dan untuk peraih Nobel kita, Vislava Shimborska. Szymborska terpesona oleh non-periodisitas nomor ini dan fakta bahwa dengan probabilitas 1 setiap urutan angka, seperti nomor telepon kami, akan muncul di sana. Sementara sifat pertama melekat pada setiap bilangan irasional (yang harus kita ingat dari sekolah), yang kedua adalah fakta matematika menarik yang sulit dibuktikan. Anda bahkan dapat menemukan aplikasi yang menawarkan: beri saya nomor telepon Anda dan saya akan memberi tahu Anda di mana itu dalam pi.

Di mana ada kebulatan, di situ ada tidur. Jika kita memiliki danau yang bulat, maka berjalan mengelilinginya 1,57 kali lebih lama daripada berenang. Tentu saja, ini tidak berarti kita akan berenang satu setengah hingga dua kali lebih lambat dari yang kita lewati. Saya berbagi rekor dunia 100m dengan rekor dunia 100m. Menariknya, pada pria dan wanita hasilnya hampir sama yaitu 4,9. Kami berenang 5 kali lebih lambat dari saat kami berlari. Mendayung benar-benar berbeda - tetapi merupakan tantangan yang menarik. Ini memiliki jalan cerita yang cukup panjang.

Melarikan diri dari Penjahat yang mengejar, Yang Baik yang tampan dan mulia berlayar ke danau. Penjahat itu berlari di sepanjang pantai dan menunggu dia membuatnya mendarat. Tentu saja, dia berlari lebih cepat dari barisan Dobry, dan jika dia berlari dengan mulus, Dobry lebih cepat. Jadi satu-satunya kesempatan bagi Jahat adalah mendapatkan Kebaikan dari pantai - tembakan akurat dari revolver bukanlah suatu pilihan, karena. Kebaikan memiliki informasi berharga yang ingin diketahui Jahat.

Baik mematuhi strategi berikut. Dia berenang melintasi danau, perlahan-lahan mendekati pantai, tetapi selalu berusaha untuk berada di sisi yang berlawanan dari Si Jahat, yang secara acak berlari ke kiri, lalu ke kanan. Ini ditunjukkan pada gambar. Biarkan posisi awal Evil menjadi Z₁, dan Dobre adalah tengah danau. Saat Zly pindah ke Z₁, Dobro doplyvët lakukan D.₁ketika Buruk ada di Z₂, bagus di D₂. Ini akan mengalir secara zig-zag, tetapi sesuai dengan aturan: sejauh mungkin dari Z. Namun, saat bergerak menjauh dari pusat danau, Baik harus bergerak dalam lingkaran yang lebih besar dan lebih besar, dan pada titik tertentu tidak bisa mematuhi prinsip "berada di sisi lain dari Kejahatan." Kemudian dia mendayung dengan sekuat tenaga ke pantai, berharap agar si Jahat tidak melewati danau. Akankah Bagus berhasil?

Jawabannya tergantung pada seberapa cepat Baik dapat mendayung dalam kaitannya dengan nilai kaki Bad. Misalkan Orang Jahat berlari dengan kecepatan s kali kecepatan Orang Baik di danau. Oleh karena itu, lingkaran terbesar, di mana Kebaikan dapat mendayung untuk melawan Kejahatan, memiliki jari-jari yang satu kali lebih kecil dari jari-jari sebuah danau. Jadi, dalam gambar yang kita miliki. Di titik W, Jenis kami mulai mendayung menuju pantai. Ini harus pergi 

 dengan kecepatan

Dia butuh waktu.

Jahat mengejar semua kaki terbaiknya. Dia harus menyelesaikan setengah dari lingkaran, yang akan memakan waktu beberapa detik atau menit, tergantung pada unit yang dipilih. Jika ini lebih dari akhir yang bahagia:

Yang baik akan pergi. Akun sederhana menunjukkan apa yang seharusnya. Jika Orang Jahat berlari lebih cepat dari 4,14 kali Orang Baik, itu tidak berakhir dengan baik. Dan di sini juga, nomor pi kita ikut campur.

Apa yang bulat itu indah. Mari kita lihat foto tiga piring hias - saya memilikinya setelah orang tua saya. Berapakah luas segitiga lengkung di antara keduanya? Ini adalah tugas sederhana; jawabannya ada di foto yang sama. Kami tidak heran itu muncul dalam rumus - lagipula, di mana ada kebulatan, di situ ada pi.

Saya menggunakan kata yang mungkin asing:. Ini adalah nama angka pi dalam budaya berbahasa Jerman, dan semua ini berkat Belanda (sebenarnya orang Jerman yang tinggal di Belanda - kewarganegaraan tidak penting saat itu), Ludolf dari Seoulen... Pada tahun 1596 g. dia menghitung 35 digit ekspansinya ke desimal. Rekor ini bertahan hingga 1853, ketika William Rutherford terhitung 440 kursi. Pemegang rekor untuk perhitungan manual adalah (mungkin selamanya) William Shanksyang, setelah bertahun-tahun bekerja, menerbitkan (tahun 1873) ekstensi ke 702 digit. Hanya pada tahun 1946, 180 digit terakhir ditemukan salah, tetapi tetap demikian. 527 benar. Sangat menarik untuk menemukan bug itu sendiri. Segera setelah publikasi hasil Shanks, mereka curiga bahwa "ada sesuatu yang salah" - ada beberapa tujuh yang mencurigakan dalam pengembangan. Hipotesis yang belum terbukti (Desember 2020) menyatakan bahwa semua angka harus muncul dengan frekuensi yang sama. Hal ini mendorong D.T. Ferguson untuk merevisi perhitungan Shanks dan menemukan kesalahan "pelajar"!

Belakangan, kalkulator dan komputer membantu orang. Pemegang rekor saat ini (Desember 2020) adalah Timothy Mullican (50 triliun tempat desimal). Perhitungannya memakan waktu ... 303 hari. Mari kita bermain: berapa banyak ruang yang dibutuhkan nomor ini, dicetak dalam buku standar. Sampai saat ini, "sisi" teks yang dicetak adalah 1800 karakter (30 baris kali 60 baris). Mari kita kurangi jumlah karakter dan margin halaman, menjejalkan 5000 karakter per halaman, dan mencetak 50 halaman buku. Jadi XNUMX triliun karakter akan membutuhkan sepuluh juta buku. Tidak buruk, kan?

Pertanyaannya, apa gunanya perjuangan seperti itu? Dari sudut pandang ekonomi murni, mengapa pembayar pajak harus membayar "hiburan" matematikawan seperti itu? Jawabannya tidak sulit. Pertama, dari Seoulen menemukan kosong untuk perhitungan, kemudian berguna untuk perhitungan logaritmik. Jika dia diberitahu: tolong, buat yang kosong, dia akan menjawab: mengapa? Demikian pula perintah:. Seperti yang Anda ketahui, penemuan ini tidak sepenuhnya kebetulan, tetapi bagaimanapun juga merupakan produk sampingan dari penelitian dari jenis yang berbeda.

Kedua, mari kita baca apa yang dia tulis Timothy Mullican. Berikut adalah reproduksi awal karyanya. Profesor Mullican dalam keamanan siber, dan pi adalah hobi kecil sehingga dia baru saja menguji sistem keamanan siber barunya.

Dan 3,14159 di bidang teknik sudah lebih dari cukup, itu soal lain. Mari kita lakukan perhitungan sederhana. Jupiter berjarak 4,774 Tm dari Matahari (terameter = 1012 meter). Untuk menghitung keliling lingkaran seperti itu dengan jari-jari sedemikian hingga presisi yang tidak masuk akal 1 milimeter, cukup untuk mengambil = 3,1415926535897932.

Foto berikut menunjukkan seperempat lingkaran bata Lego. Saya menggunakan 1774 bantalan dan itu sekitar 3,08 pi. Bukan yang terbaik, tapi apa yang diharapkan? Lingkaran tidak bisa terdiri dari persegi.

Tepat. Bilangan pi diketahui lingkaran persegi - masalah matematika yang telah menunggu solusinya selama lebih dari 2000 tahun - sejak zaman Yunani. Bisakah Anda menggunakan kompas dan garis lurus untuk membuat persegi yang luasnya sama dengan luas lingkaran yang diberikan?

Istilah "persegi lingkaran" telah memasuki bahasa lisan sebagai simbol dari sesuatu yang mustahil. Saya menekan tombol untuk bertanya, apakah ini semacam upaya untuk mengisi parit permusuhan yang memisahkan warga negara kita yang indah? Tapi saya sudah menghindari topik ini, karena saya mungkin hanya merasa di matematika.

Dan lagi hal yang sama - solusi untuk masalah mengkuadratkan lingkaran tidak muncul sedemikian rupa sehingga penulis solusinya, Charles Lindemann, pada tahun 1882 ia didirikan dan akhirnya berhasil. Sampai batas tertentu ya, tapi itu adalah hasil dari serangan dari depan yang luas. Matematikawan telah belajar bahwa ada berbagai jenis angka. Tidak hanya bilangan bulat, rasional (yaitu, pecahan) dan irasional. Ketidakterukuran juga bisa lebih baik atau lebih buruk. Kita mungkin ingat dari sekolah bahwa bilangan irasional adalah 2 - bilangan yang menyatakan perbandingan panjang diagonal persegi dengan panjang sisinya. Seperti bilangan irasional lainnya, ia memiliki ekstensi yang tidak terbatas. Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa ekspansi periodik adalah properti bilangan rasional, yaitu. bilangan bulat pribadi:

Di sini urutan angka berulang tanpa batas 142857. Untuk √2 ini tidak akan terjadi - ini adalah bagian dari irasionalitas. Tapi kamu bisa:

(pecahan berlangsung selamanya). Kami melihat pola di sini, tetapi dari jenis yang berbeda. Pi bahkan tidak terlalu umum. Itu tidak dapat diperoleh dengan memecahkan persamaan aljabar - yaitu, di mana tidak ada akar kuadrat, atau logaritma, atau fungsi trigonometri. Ini sudah menunjukkan bahwa itu tidak dapat dibangun - menggambar lingkaran mengarah ke fungsi kuadrat, dan garis - garis lurus - ke persamaan tingkat pertama.

Mungkin saya melenceng dari plot utama. Hanya perkembangan semua matematika yang memungkinkan untuk kembali ke asalnya - ke matematika kuno yang indah dari para pemikir yang menciptakan bagi kita budaya pemikiran Eropa, yang saat ini sangat diragukan oleh beberapa orang.

Dari sekian banyak pola yang representatif, saya memilih dua. Yang pertama dari mereka kita kaitkan dengan nama keluarga Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Tapi dia dikenal (model, bukan Leibniz) oleh sarjana Hindu abad pertengahan Madhava dari Sangamagram (1350-1425). Transfer informasi pada saat itu tidak bagus - koneksi Internet sering bermasalah, dan tidak ada baterai untuk ponsel (karena elektronik belum ditemukan!). Rumusnya indah, tetapi tidak berguna untuk perhitungan. Dari seratus bahan, diperoleh "hanya" 3,15159.

dia sedikit lebih baik rumus Viète (satu dari persamaan kuadrat) dan rumusnya mudah diprogram karena suku berikutnya dalam hasil kali adalah akar kuadrat dari ditambah dua sebelumnya.

Kita tahu bahwa lingkaran itu bulat. Kita dapat mengatakan bahwa ini adalah putaran 100 persen. Matematikawan akan bertanya: dapatkah sesuatu tidak bulat 1 persen? Rupanya, ini adalah oxymoron, frasa yang mengandung kontradiksi tersembunyi, seperti, misalnya, es panas. Tapi mari kita coba mengukur seberapa bulat bentuknya. Ternyata ukuran yang baik diberikan oleh rumus berikut, di mana S adalah luas dan L adalah keliling gambar. Mari kita cari tahu bahwa lingkaran itu benar-benar bulat, bahwa sigmanya adalah 6. Luas lingkaran adalah kelilingnya. Kami memasukkan ... dan melihat apa yang benar. Berapa bulat persegi tersebut? Perhitungannya sesederhana itu, saya bahkan tidak akan memberikannya. Ambil segi enam biasa tertulis dalam lingkaran dengan jari-jari. Perimeter jelas XNUMX.

Polandia

Bagaimana dengan segi enam biasa? Kelilingnya adalah 6 dan luasnya

Jadi kita punya

yang kira-kira sama dengan 0,952. Segi enam lebih dari 95% "bulat".

Hasil menarik didapat saat menghitung kebulatan stadion olahraga. Menurut aturan IAAF, jalan lurus dan belokan harus sepanjang 40 meter, meskipun penyimpangan diperbolehkan. Saya ingat Stadion Bislet di Oslo sempit dan panjang. Saya menulis "dulu" karena saya bahkan menjalankannya (untuk seorang amatir!), Tetapi lebih dari XNUMX tahun yang lalu. Mari kita lihat:

Jika busur memiliki jari-jari 100 meter, jari-jari busur itu adalah meter. Luas halaman rumput adalah meter persegi, dan area di luarnya (di mana ada batu loncatan) berjumlah meter persegi. Mari kita masukkan ini ke dalam rumus:

Jadi, apakah kebulatan stadion olahraga ada hubungannya dengan segitiga sama sisi? Karena tinggi segitiga sama sisi sama dengan jumlah sisinya. Ini kebetulan angka yang acak, tapi itu bagus. Saya suka itu. Dan para pembaca?

Nah, untungnya itu bulat, meski mungkin ada yang keberatan karena virus yang menyerang kita semua itu bulat. Setidaknya begitulah cara mereka menggambarnya.