Persamaan, kode, sandi, matematika dan puisi

Michal Shurek berkata tentang dirinya sendiri: “Saya lahir pada tahun 1946. Saya lulus dari Universitas Warsawa pada tahun 1968 dan sejak itu saya bekerja di Fakultas Matematika, Informatika, dan Mekanika. Spesialisasi ilmiah: geometri aljabar. Saya baru-baru ini berurusan dengan bundel vektor. Apa itu balok vektor? Jadi, vektor harus diikat erat dengan seutas benang, dan kita sudah punya banyak. Teman fisikawan saya Anthony Sim membuat saya bergabung dengan Teknisi Muda (dia mengakui bahwa dia seharusnya mendapatkan royalti dari bayaran saya). Saya menulis beberapa artikel dan kemudian saya tinggal, dan sejak 1978 Anda dapat membaca setiap bulan pendapat saya tentang matematika. Saya suka gunung dan, meski kelebihan berat badan, saya mencoba berjalan. Saya pikir guru adalah yang paling penting. Saya akan menjaga politisi, apapun pilihan mereka, di daerah yang dijaga ketat sehingga mereka tidak bisa melarikan diri. Beri makan sekali sehari. Seekor beagle dari Tulek menyukaiku.

Persamaan seperti sandi untuk ahli matematika. Memecahkan persamaan, inti dari matematika, adalah membaca ciphertext. Hal ini telah diperhatikan oleh para teolog sejak abad ke-XNUMX. Yohanes Paulus II, yang mengetahui matematika, menulis dan menyebutkan ini beberapa kali dalam khotbahnya - sayangnya, faktanya telah terhapus dari ingatan saya.

Dalam sains sekolah, itu diwakili Pythagoras sebagai penulis teorema pada beberapa ketergantungan dalam segitiga siku-siku. Jadi itu menjadi bagian dari filosofi Eurosentris kami. Namun Pythagoras memiliki lebih banyak kebajikan. Dialah yang membebankan kepada murid-muridnya kewajiban untuk “mempelajari dunia”, dari “apa yang ada di balik bukit ini?” sebelum mempelajari bintang. Itulah sebabnya orang Eropa "menemukan" peradaban kuno, dan bukan sebaliknya.

Beberapa pembaca ingatpola VièteDan"; banyak pembaca yang lebih tua mengingat istilah itu sendiri dari sekolah dan kira-kira fakta bahwa pertanyaan itu muncul dalam persamaan kuadrat. Keteraturan ini “secara ideologis” enkripsi informasi.

Tidak heran satu Francois Viet (1540-1603) terlibat dalam kriptografi di istana Henry IV (raja Prancis pertama dari dinasti Bourbon, 1553-1610) dan berhasil memecahkan sandi yang digunakan oleh Inggris dalam perang dengan Prancis. Jadi dia memainkan peran yang sama dengan matematikawan Polandia (dipimpin oleh Marian Rejewski), yang menemukan rahasia mesin sandi Enigma Jerman sebelum Perang Dunia II.

tema mode

Tepat. Topik "kode dan sandi" telah lama menjadi mode dalam pengajaran. Saya sudah menulis tentang ini beberapa kali, dan dalam dua bulan akan ada seri lain. Kali ini saya menulis di bawah kesan sebuah film tentang perang tahun 1920, di mana kemenangan sebagian besar disebabkan oleh pemecahan kode pasukan Bolshevik oleh tim yang dipimpin oleh pemuda saat itu. Vaclav Sierpinski (1882-1969). Tidak, ini belum Enigma, ini hanya pengenalan. Saya ingat sebuah adegan dari film di mana Józef Piłsudski (diperankan oleh Daniil Olbrychski) berkata kepada kepala departemen sandi:

Pesan yang diterjemahkan membawa pesan penting: pasukan Tukhachevsky tidak akan menerima dukungan. Anda bisa menyerang!

Saya mengenal Vaclav Sierpinski (jika boleh saya katakan demikian: saya adalah seorang mahasiswa muda, dia adalah seorang profesor terkenal), menghadiri kuliah-kuliah dan seminar-seminarnya. Dia memberi kesan seorang sarjana layu, linglung, sibuk dengan disiplinnya dan tidak melihat dunia lain. Dia memberi kuliah secara khusus, menghadap papan tulis, tidak melihat ke penonton ... tapi dia merasa seperti seorang spesialis yang luar biasa. Dengan satu atau lain cara, ia memiliki kemampuan matematika tertentu - misalnya, untuk memecahkan masalah. Ada ilmuwan lain yang relatif buruk dalam memecahkan teka-teki, tetapi memiliki pemahaman mendalam tentang keseluruhan teori dan mampu memulai seluruh bidang kreativitas. Kami membutuhkan keduanya - meskipun yang pertama akan bergerak lebih cepat.

Vaclav Sierpinski tidak pernah berbicara tentang pencapaiannya pada tahun 1920. Sampai tahun 1939, ini pasti harus dirahasiakan, dan setelah 1945, mereka yang berperang dengan Soviet Rusia tidak menikmati simpati dari pihak berwenang saat itu. Keyakinan saya bahwa ilmuwan dibutuhkan, seperti tentara, terbukti: "berjaga-jaga." Inilah Presiden Roosevelt yang memanggil Einstein:

Ahli matematika Rusia terkemuka Igor Arnold secara terbuka dan sedih mengatakan bahwa perang memiliki pengaruh besar pada perkembangan matematika dan fisika (radar dan GPS juga berasal dari militer). Saya tidak membahas aspek moral dari penggunaan bom atom: ini adalah perpanjangan perang selama satu tahun dan kematian beberapa juta tentara mereka sendiri - ada penderitaan warga sipil yang tidak bersalah.

***

Saya lari ke daerah yang sudah dikenal - k. Banyak dari kita bermain dengan kode, mungkin kepanduan, mungkin begitu saja. Sandi sederhana, berdasarkan prinsip mengganti huruf dengan huruf lain atau angka lain, secara rutin rusak jika kita hanya menangkap sedikit petunjuk (misalnya, kita menebak nama raja). Analisis statistik juga membantu hari ini. Lebih buruk lagi, ketika semuanya bisa berubah. Tetapi hal terburuk adalah ketika tidak ada keteraturan. Pertimbangkan kode yang dijelaskan dalam The Adventures of the Good Soldier Schweik. Ambil sebuah buku, misalnya, The Flood. Berikut adalah saran pada halaman pertama dan kedua.

Kami ingin mengkodekan kata "CAT". Kami buka di halaman 1 dan detik berikutnya. Kami menemukan bahwa di halaman 1, huruf K pertama kali muncul di tempat ke-59. Kami menemukan kata lima puluh sembilan di seberang, di sisi lain. Itu adalah kata "a". Sekarang huruf O. Di sebelah kiri adalah kata ke-16, dan kata ke-95 di sebelah kanan adalah "Mr." Huruf T ada di tempat ke-1, jika saya menghitung dengan benar, dan kata kesembilan puluh lima dari kanan adalah "o". Jadi, CAT = XNUMX TUHAN O.

Sandi yang "tidak dapat ditebak", meskipun sangat lambat baik untuk enkripsi maupun ... untuk menebak. Misalkan kita ingin melewatkan huruf M. Kita dapat memeriksa apakah kita menyandikannya dengan kata "Wołodyjowski". Dan setelah kami mereka sudah menyiapkan sel penjara. Kami hanya bisa mengandalkan pengganti! Selain itu, kontra-intelijen mencatat laporan dari karyawan rahasia bahwa untuk beberapa waktu pelanggan telah rela membeli volume pertama The Flood.

Artikel saya adalah kontribusi untuk tesis ini: bahkan ide-ide paling aneh dari matematikawan dapat menemukan aplikasi dalam praktik yang dipahami secara luas. Misalnya, apakah mungkin untuk membayangkan penemuan matematika yang kurang berguna daripada kriteria untuk dapat dibagi ... dengan 47?

Kapan kita membutuhkannya dalam hidup? Dan jika demikian, akan lebih mudah untuk mencoba memisahkannya. Kalau membelah ya bagus, kalau tidak ya… yang kedua bagus (kita tahu tidak membelah).

Bagaimana cara berbagi dan mengapa

Setelah pengantar ini, mari kita lanjutkan ke Apakah Anda, para pembaca, mengetahui tanda-tanda keterpisahan? Tentu saja. Angka genap diakhiri dengan 2, 4, 6, 8, atau nol. Suatu bilangan habis dibagi tiga jika jumlah digit-digitnya habis dibagi tiga. Demikian pula, dengan tanda habis dibagi sembilan - jumlah digit harus habis dibagi sembilan.

Siapa yang membutuhkannya? Bohong jika saya meyakinkan Pembaca bahwa dia baik untuk apa pun selain... tugas sekolah. Nah, dan fitur lain dari pembagian dengan 4 (dan apa itu, Pembaca? Mungkin Anda akan menggunakannya ketika Anda ingin tahu tahun berapa Olimpiade berikutnya jatuh ...). Tetapi fitur pembagian dengan 47? Ini sudah sakit kepala. Apakah kita pernah tahu jika ada sesuatu yang habis dibagi 47? Jika ya, ambil kalkulator dan lihat.

Ini. Anda benar, Pembaca. Namun, baca terus. Sama sama.

Dapat dibagi 47: Bilangan 100+ habis dibagi 47 jika dan hanya jika 47 habis dibagi +8.

Ahli matematika akan tersenyum puas: "Wah, cantik." Tapi matematika adalah matematika. Bukti penting, dan kami memperhatikan keindahannya. Bagaimana cara membuktikan sifat kita? Ini sangat sederhana. Kurangi 100 + angka 94 - 47 = 47 (2 -). Kita mendapatkan 100+-94+47=6+48=6(+8).

Kita telah mengurangkan suatu bilangan yang habis dibagi 47, jadi jika 6 (+ 8) habis dibagi 47, maka 100 + juga habis. Tetapi angka 6 relatif prima dengan 47, artinya 6 (+ 8) habis dibagi 47 jika dan hanya jika + 8. Akhir pembuktian.

Ayo lihat Beberapa contoh.

8805685 habis dibagi 47? Jika kita benar-benar tertarik, kita akan mengetahuinya lebih cepat hanya dengan membagi kita seperti yang diajarkan di sekolah dasar. Dengan satu atau lain cara, sekarang setiap ponsel memiliki kalkulator. Terbagi? Ya, pribadi 187355.

Nah, mari kita lihat apa yang dikatakan oleh tanda pembagian. Kami memutuskan dua digit terakhir, mengalikannya dengan 8, menambahkan hasilnya ke "nomor terpotong" dan melakukan hal yang sama dengan nomor yang dihasilkan.

8805685 → 88056 + 8 85 = 88736 → 887 + 8 36 = 1175 → 11 + 8 75 = 611 → 6 + 8 11 = 94.

Kita melihat bahwa 94 habis dibagi 47 (hasil bagi adalah 2), yang berarti bahwa bilangan asli juga habis dibagi. Bagus. Tapi bagaimana jika kita terus bersenang-senang?

94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47.

Sekarang kita harus berhenti. Empat puluh tujuh habis dibagi 47, kan?

Apakah kita benar-benar perlu berhenti? Bagaimana jika kita melangkah lebih jauh? Ya Tuhan, apa pun bisa terjadi ... Saya akan menghilangkan detailnya. Mungkin baru permulaan:

47 → 0 + 8 · 47 = 376 → 3 + 8 · 76 = 611 → 6 + 8 · 11 = 94 → 0 + 8 · 94 = 752.

Tapi, sayangnya, itu sama adiktifnya dengan mengunyah biji ...

752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47.

Ah, empat puluh tujuh. Itu terjadi sebelumnya. Apa berikutnya? . Sama. Angka-angka masuk dalam satu lingkaran seperti ini:

Ini sangat menarik. Begitu banyak loop.

Dua contoh berikut.

Kita ingin tahu apakah 10017627 habis dibagi 47. Mengapa kita membutuhkan pengetahuan ini? Kami ingat prinsip: celakalah pengetahuan yang tidak membantu yang mengetahui. Pengetahuan selalu ada untuk sesuatu. Ini akan untuk sesuatu, tapi sekarang saya tidak akan menjelaskan. Beberapa akun lagi:

10017627 → 100176 + 8 27 = 100392.

"Dia mengubah pamannya dari kapak menjadi tongkat." Apa yang kita dapatkan dari semua ini?

Baiklah, mari kita ulangi jalannya persidangan. Artinya, kami akan terus melakukan ini (yaitu, kata "ulangi").

100392 → 1003 + 8 92 = 1739 → 17 + 8 39 = 329 → 3 + 8 29 = 235.

Ayo hentikan permainan, bagi seperti di sekolah (atau di kalkulator): 235 = 5 47. Bingo. Bilangan asli 10017627 habis dibagi 47.

Sudah selesai dilakukan dengan baik!

Bagaimana jika kita melangkah lebih jauh? Percayalah, Anda bisa memeriksanya.

Dan satu lagi fakta menarik. Kami ingin memeriksa apakah 799 habis dibagi 47. Kami menggunakan fungsi pembagian. Kami memutuskan dua digit terakhir, mengalikan angka yang dihasilkan dengan 8 dan menambahkan apa yang tersisa:

799 → 7 + 8 = 99 + 7 = 792.

Apa yang kita miliki? Apakah 799 habis dibagi 47 jika dan hanya jika 799 habis dibagi 47? Ya, itu benar, tetapi tidak diperlukan matematika untuk ini!!! Minyaknya berminyak (setidaknya minyak ini berminyak).

Tentang daun, bajak laut, dan akhir lelucon!

Dua cerita lagi. Di mana tempat terbaik untuk menyembunyikan daun? Jawabannya jelas: di hutan! Tapi bagaimana Anda bisa menemukannya?

Yang kedua kita tahu dari buku-buku tentang bajak laut yang sudah lama kita baca. Para perompak membuat peta tempat mereka mengubur harta karun itu. Yang lain mencurinya atau memenangkan pertarungan. Tetapi peta itu tidak menunjukkan pulau mana yang dituju. Dan cari sendiri! Tentu saja, para perompak mengatasi (penyiksaan) ini - sandi yang saya bicarakan juga dapat diekstraksi menggunakan metode seperti itu.

Akhir dari lelucon. Pembaca! Kami membuat sandi. Saya seorang mata-mata yang menyamar dan menggunakan "Teknisi Junior" sebagai kotak kontak saya. Teruskan saya pesan terenkripsi sebagai berikut.

Pertama, ubah teks menjadi serangkaian angka menggunakan kode: AB CDEFGH IJ KLMN ON RST UWX Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Seperti yang Anda lihat, kami tidak menggunakan diakritik Polandia (yaitu tanpa , ę, , , ó, ) dan q non-Polandia, v - tetapi x non-Polandia ada untuk berjaga-jaga. Mari sertakan 25 lainnya sebagai spasi (spasi antar kata). Ah, hal yang paling penting. Silakan terapkan kode no.47.

Anda tahu apa artinya itu. Anda pergi ke teman matematikawan.

Mata sahabatnya terbelalak kaget.

Anda menjawab dengan bangga:

Seorang ahli matematika memberi Anda sifat ini... dan Anda sudah tahu bahwa fungsi yang tampak tidak mencolok digunakan untuk enkripsi

karena pola seperti itu adalah tindakan yang dijelaskan

100+→+8.

Jadi, ketika Anda ingin tahu apa arti angka, seperti 77777777 dalam pesan terenkripsi, Anda menggunakan fungsi

100 + → +8

sampai Anda mendapatkan angka antara 1 dan 25. Sekarang lihat kode alfanumerik eksplisit. Mari kita lihat: 77777777 →… Saya menyerahkan ini kepada Anda sebagai tugas. Tapi mari kita lihat apa yang disembunyikan huruf 48? Mari membaca:

48 → 0 + 8 48 = 384.

Kemudian kita mendapatkan pada gilirannya:

384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432…

Akhir belum terlihat. Hanya setelah waktu keenam puluh (!) akan muncul angka kurang dari 25. Ini adalah 3, yang berarti 48 adalah huruf C.

Dan apa yang pesan ini berikan kepada kita? (Saya ingin mengingatkan Anda bahwa kami menggunakan kode nomor 47):

80 – 152 – 136 – 546 – ​​​​695719 – 100 – 224 – 555 – 412 – 111 – 640 – 102 – 152 – 12881 – 444 – 77777777 – 59 – 408 – 373 – 1234567 – 341.

Nah, pikirkanlah, apa yang begitu rumit, beberapa akun. Kami sudah mulai. Awal 80. Aturan yang diketahui:

80 → 0 + 8 80 = 640 → 6 + 8 40 = 326.

Ini berlanjut seperti ini:

326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.

Makan! Huruf pertama dari pesannya adalah K. Fiuh, mudah, tapi berapa lama?

Mari kita lihat juga berapa banyak masalah yang harus kita hadapi dengan angka 1234567. Hanya pada keenam belas kali kita akan mendapatkan angka yang kurang dari 25, yaitu 12. Jadi 1234567 adalah L.

Oke, bisa dibilang, tapi operasi aritmatika ini sangat sederhana sehingga memprogramnya di komputer akan langsung memecahkan kodenya. Ya itu benar. Ini adalah perhitungan komputer sederhana. ide dengan sandi publik dan ini juga tentang membuat perhitungan menjadi sulit bagi komputer. Biarkan itu bekerja setidaknya selama seratus tahun. Apakah dia akan mendekripsi pesan itu? Tidak masalah. Itu tidak akan penting untuk waktu yang lama. Ini (kurang lebih) tentang cipher publik. Mereka bisa rusak jika Anda bekerja untuk waktu yang sangat lama ... sampai berita tidak lagi relevan.

 itu selalu melahirkan "senjata tandingan". Semuanya dimulai dengan pedang dan perisai. Secret Services membayar sejumlah besar uang kepada ahli matematika berbakat untuk menemukan metode enkripsi yang komputer (termasuk yang dibuat oleh kami) tidak akan dapat memecahkannya di abad XNUMX.

abad kedua puluh dua? Tidak begitu sulit untuk mengetahui bahwa sudah ada banyak orang di dunia yang akan hidup di abad yang indah ini!

Oh ya? Bagaimana jika saya meminta (saya, Petugas Rahasia yang dihubungi oleh “Teknisi Muda”) untuk mengenkripsi dengan kode nomor 23? Atau 17? Sederhana:

Semoga kita tidak pernah harus menggunakan matematika untuk tujuan seperti itu.

***

Judul artikelnya tentang puisi. Apa hubungannya dia dengan itu?

Seperti apa? Puisi juga mengenkripsi dunia.

Bagaimana?

Dengan metode mereka - mirip dengan metode aljabar.